Theorem addcan 9785

Description: Cancellation law for addition. Theorem I.1 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 22-Nov-1994.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
addcan

Proof of Theorem addcan

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnegex2 9783	. . 3
2	1	3ad2ant1 1017	. 2
3		oveq2 6304	. . . 4
4		simprr 757	. . . . . . 7
5	4	oveq1d 6311	. . . . . 6
6		simprl 756	. . . . . . 7
7		simpl1 999	. . . . . . 7
8		simpl2 1000	. . . . . . 7
9	6, 7, 8	addassd 9639	. . . . . 6
10		addid2 9784	. . . . . . 7
11	8, 10	syl 16	. . . . . 6
12	5, 9, 11	3eqtr3d 2506	. . . . 5
13	4	oveq1d 6311	. . . . . 6
14		simpl3 1001	. . . . . . 7
15	6, 7, 14	addassd 9639	. . . . . 6
16		addid2 9784	. . . . . . 7
17	14, 16	syl 16	. . . . . 6
18	13, 15, 17	3eqtr3d 2506	. . . . 5
19	12, 18	eqeq12d 2479	. . . 4
20	3, 19	syl5ib 219	. . 3
21		oveq2 6304	. . 3
22	20, 21	impbid1 203	. 2
23	2, 22	rexlimddv 2953	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  caddc 9516

This theorem is referenced by:  addcom  9787  addcani  9794  addcomd  9803  addcand  9804  subcan  9897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654