Theorem addclnq 9344

Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq

Proof of Theorem addclnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpqnq 9337	. 2
2		elpqn 9324	. . . 4
3		elpqn 9324	. . . 4
4		addpqf 9343	. . . . 5
5	4	fovcl 6407	. . . 4
6	2, 3, 5	syl2an 477	. . 3
7		nqercl 9330	. . 3
8	6, 7	syl 16	. 2
9	1, 8	eqeltrd 2545	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cnpi 9243  cplpq 9247  cnq 9251  cerq 9253  cplq 9254

This theorem is referenced by:  halfnq  9375  plpv  9409  dmplp  9411  addclprlem2  9416  addclpr  9417  addasspr  9421  distrlem1pr  9424  distrlem4pr  9425  distrlem5pr  9426  ltaddpr  9433  ltexprlem6  9440  ltexprlem7  9441  prlem936  9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-1nq 9315