MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclprlem2 Unicode version

Theorem addclprlem2 9416
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. Part of proof of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclprlem2
Distinct variable groups:   , ,   ,   ,

Proof of Theorem addclprlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addclprlem1 9415 . . . . 5
21adantlr 714 . . . 4
3 addclprlem1 9415 . . . . . 6
4 addcomnq 9350 . . . . . . 7
54breq2i 4460 . . . . . 6
64fveq2i 5874 . . . . . . . . 9
76oveq2i 6307 . . . . . . . 8
87oveq1i 6306 . . . . . . 7
98eleq1i 2534 . . . . . 6
103, 5, 93imtr4g 270 . . . . 5
1110adantll 713 . . . 4
122, 11jcad 533 . . 3
13 simpl 457 . . . 4
14 simpl 457 . . . . 5
15 simpl 457 . . . . 5
1614, 15anim12i 566 . . . 4
17 df-plp 9382 . . . . 5
18 addclnq 9344 . . . . 5
1917, 18genpprecl 9400 . . . 4
2013, 16, 193syl 20 . . 3
2112, 20syld 44 . 2
22 distrnq 9360 . . . . 5
23 mulassnq 9358 . . . . 5
2422, 23eqtr3i 2488 . . . 4
25 mulcomnq 9352 . . . . . . 7
26 elprnq 9390 . . . . . . . . 9
27 elprnq 9390 . . . . . . . . 9
2826, 27anim12i 566 . . . . . . . 8
29 addclnq 9344 . . . . . . . 8
30 recidnq 9364 . . . . . . . 8
3128, 29, 303syl 20 . . . . . . 7
3225, 31syl5eq 2510 . . . . . 6
3332oveq2d 6312 . . . . 5
34 mulidnq 9362 . . . . 5
3533, 34sylan9eq 2518 . . . 4
3624, 35syl5eq 2510 . . 3
3736eleq1d 2526 . 2
3821, 37sylibd 214 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cnq 9251   c1q 9252   cplq 9254   cmq 9255   crq 9256   cltq 9257   cnp 9258   cpp 9260
This theorem is referenced by:  addclpr  9417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-plp 9382
  Copyright terms: Public domain W3C validator