Theorem addcn2 13416

Description: Complex number addition is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (We write out the definition directly because df-cn 19728 and df-cncf 21382 are not yet available to us. See addcn 21369 for the abbreviated version.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
addcn2

Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,

Proof of Theorem addcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rphalfcl 11273	. . 3
2	1	3ad2ant1 1017	. 2
3		simprl 756	. . . . . . . 8
4		simpl2 1000	. . . . . . . 8
5		simprr 757	. . . . . . . 8
6	3, 4, 5	pnpcan2d 9992	. . . . . . 7
7	6	fveq2d 5875	. . . . . 6
8	7	breq1d 4462	. . . . 5
9		simpl3 1001	. . . . . . . 8
10	4, 5, 9	pnpcand 9991	. . . . . . 7
11	10	fveq2d 5875	. . . . . 6
12	11	breq1d 4462	. . . . 5
13	8, 12	anbi12d 710	. . . 4
14		addcl 9595	. . . . . 6
15	14	adantl 466	. . . . 5
16	4, 9	addcld 9636	. . . . 5
17	4, 5	addcld 9636	. . . . 5
18		simpl1 999	. . . . . 6
19	18	rpred 11285	. . . . 5
20		abs3lem 13171	. . . . 5
21	15, 16, 17, 19, 20	syl22anc 1229	. . . 4
22	13, 21	sylbird 235	. . 3
23	22	ralrimivva 2878	. 2
24		breq2 4456	. . . . . 6
25	24	anbi1d 704	. . . . 5
26	25	imbi1d 317	. . . 4
27	26	2ralbidv 2901	. . 3
28		breq2 4456	. . . . . 6
29	28	anbi2d 703	. . . . 5
30	29	imbi1d 317	. . . 4
31	30	2ralbidv 2901	. . 3
32	27, 31	rspc2ev 3221	. 2
33	2, 2, 23, 32	syl3anc 1228	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  caddc 9516  clt 9649  cmin 9828  cdiv 10231  2c2 10610  crp 11249  cabs 13067

This theorem is referenced by:  subcn2  13417  climadd  13454  rlimadd  13465  addcn  21369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069