MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcom Unicode version

Theorem addcom 9787
Description: Addition commutes. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
addcom

Proof of Theorem addcom
StepHypRef Expression
1 1cnd 9633 . . . . . . . 8
21, 1addcld 9636 . . . . . . 7
3 simpl 457 . . . . . . 7
4 simpr 461 . . . . . . 7
52, 3, 4adddid 9641 . . . . . 6
63, 4addcld 9636 . . . . . . 7
7 1p1times 9772 . . . . . . 7
86, 7syl 16 . . . . . 6
9 1p1times 9772 . . . . . . 7
10 1p1times 9772 . . . . . . 7
119, 10oveqan12d 6315 . . . . . 6
125, 8, 113eqtr3rd 2507 . . . . 5
133, 3addcld 9636 . . . . . 6
1413, 4, 4addassd 9639 . . . . 5
156, 3, 4addassd 9639 . . . . 5
1612, 14, 153eqtr4d 2508 . . . 4
1713, 4addcld 9636 . . . . 5
186, 3addcld 9636 . . . . 5
19 addcan2 9786 . . . . 5
2017, 18, 4, 19syl3anc 1228 . . . 4
2116, 20mpbid 210 . . 3
223, 3, 4addassd 9639 . . 3
233, 4, 3addassd 9639 . . 3
2421, 22, 233eqtr3d 2506 . 2
254, 3addcld 9636 . . 3
26 addcan 9785 . . 3
273, 6, 25, 26syl3anc 1228 . 2
2824, 27mpbid 210 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518
This theorem is referenced by:  addcomi  9792  add12  9814  add32  9815  add42  9818  subsub23  9848  pncan2  9850  addsub  9854  addsub12  9856  addsubeq4  9858  sub32  9876  pnpcan2  9882  ppncan  9884  sub4  9887  negsubdi2  9901  ltaddsub2  10052  leaddsub2  10054  leltadd  10061  ltaddpos2  10068  addge02  10088  conjmul  10286  recp1lt1  10468  recreclt  10469  avgle1  10803  avgle2  10804  avgle  10805  nn0nnaddcl  10852  xaddcom  11466  fzen  11732  fzshftral  11795  flzadd  11959  modadd2mod  12037  nn0ennn  12089  seradd  12149  bernneq2  12293  hashfz  12485  revccat  12740  2cshwcom  12784  shftval2  12908  shftval4  12910  crim  12948  absmax  13162  climshft2  13405  summolem3  13536  binom1dif  13645  isumshft  13651  arisum  13671  mertenslem1  13693  addcos  13909  demoivreALT  13936  dvdsaddr  14025  divalglem4  14054  divalgb  14062  gcdaddm  14167  hashdvds  14305  phiprmpw  14306  pythagtriplem2  14341  mulgnndir  16164  cnaddablx  16874  cnaddabl  16875  zaddablx  16876  cncrng  18439  ioo2bl  21298  icopnfcnv  21442  uniioombllem3  21994  fta1glem1  22566  plyremlem  22700  fta1lem  22703  vieta1lem1  22706  vieta1lem2  22707  aaliou3lem2  22739  dvradcnv  22816  pserdv2  22825  reeff1olem  22841  ptolemy  22889  logcnlem4  23026  cxpsqrt  23084  atandm2  23208  atandm4  23210  atanlogsublem  23246  2efiatan  23249  dvatan  23266  birthdaylem2  23282  emcllem2  23326  fsumharmonic  23341  wilthlem1  23342  wilthlem2  23343  basellem8  23361  1sgmprm  23474  perfectlem2  23505  pntibndlem1  23774  pntibndlem2  23776  pntlemd  23779  pntlemc  23780  cnaddablo  25352  addinv  25354  cdj3lem3b  27359  isarchi3  27731  archiabllem2c  27739  bpolydiflem  29816  cos2h  30046  tan2h  30047  eldioph2lem1  30693  addcomgi  31365  fz0addcom  32333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654
  Copyright terms: Public domain W3C validator