MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  adderpqlem Unicode version

Theorem adderpqlem 9353
Description: Lemma for adderpq 9355. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adderpqlem

Proof of Theorem adderpqlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 6830 . . . . . 6
213ad2ant1 1017 . . . . 5
3 xp2nd 6831 . . . . . 6
433ad2ant3 1019 . . . . 5
5 mulclpi 9292 . . . . 5
62, 4, 5syl2anc 661 . . . 4
7 xp1st 6830 . . . . . 6
873ad2ant3 1019 . . . . 5
9 xp2nd 6831 . . . . . 6
1093ad2ant1 1017 . . . . 5
11 mulclpi 9292 . . . . 5
128, 10, 11syl2anc 661 . . . 4
13 addclpi 9291 . . . 4
146, 12, 13syl2anc 661 . . 3
15 mulclpi 9292 . . . 4
1610, 4, 15syl2anc 661 . . 3
17 xp1st 6830 . . . . . 6
18173ad2ant2 1018 . . . . 5
19 mulclpi 9292 . . . . 5
2018, 4, 19syl2anc 661 . . . 4
21 xp2nd 6831 . . . . . 6
22213ad2ant2 1018 . . . . 5
23 mulclpi 9292 . . . . 5
248, 22, 23syl2anc 661 . . . 4
25 addclpi 9291 . . . 4
2620, 24, 25syl2anc 661 . . 3
27 mulclpi 9292 . . . 4
2822, 4, 27syl2anc 661 . . 3
29 enqbreq 9318 . . 3
3014, 16, 26, 28, 29syl22anc 1229 . 2
31 addpipq2 9335 . . . 4
32313adant2 1015 . . 3
33 addpipq2 9335 . . . 4
34333adant1 1014 . . 3
3532, 34breq12d 4465 . 2
36 enqbreq2 9319 . . . 4
37363adant3 1016 . . 3
38 mulclpi 9292 . . . . 5
394, 4, 38syl2anc 661 . . . 4
40 mulclpi 9292 . . . . 5
412, 22, 40syl2anc 661 . . . 4
42 mulcanpi 9299 . . . 4
4339, 41, 42syl2anc 661 . . 3
44 mulcompi 9295 . . . . . . . 8
45 fvex 5881 . . . . . . . . 9
46 fvex 5881 . . . . . . . . 9
47 fvex 5881 . . . . . . . . 9
48 mulcompi 9295 . . . . . . . . 9
49 mulasspi 9296 . . . . . . . . 9
5045, 46, 47, 48, 49, 47caov4 6506 . . . . . . . 8
5144, 50eqtri 2486 . . . . . . 7
52 fvex 5881 . . . . . . . . 9
53 fvex 5881 . . . . . . . . 9
5452, 47, 53, 48, 49, 46caov4 6506 . . . . . . . 8
55 mulcompi 9295 . . . . . . . . 9
56 mulcompi 9295 . . . . . . . . 9
5755, 56oveq12i 6308 . . . . . . . 8
5854, 57eqtri 2486 . . . . . . 7
5951, 58oveq12i 6308 . . . . . 6
60 addcompi 9293 . . . . . 6
61 ovex 6324 . . . . . . 7
62 ovex 6324 . . . . . . 7
63 ovex 6324 . . . . . . 7
64 distrpi 9297 . . . . . . 7
6561, 62, 63, 48, 64caovdir 6509 . . . . . 6
6659, 60, 653eqtr4i 2496 . . . . 5
67 addcompi 9293 . . . . . 6
68 mulasspi 9296 . . . . . . . 8
69 mulcompi 9295 . . . . . . . . . 10
70 mulasspi 9296 . . . . . . . . . . . 12
71 mulcompi 9295 . . . . . . . . . . . 12
72 mulasspi 9296 . . . . . . . . . . . 12
7370, 71, 723eqtrri 2491 . . . . . . . . . . 11
7473oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10
7569, 74eqtri 2486 . . . . . . . . 9
76 mulasspi 9296 . . . . . . . . 9
7775, 76eqtri 2486 . . . . . . . 8
7868, 77eqtri 2486 . . . . . . 7
7978oveq2i 6307 . . . . . 6
80 distrpi 9297 . . . . . 6
8167, 79, 803eqtr4i 2496 . . . . 5
8266, 81eqeq12i 2477 . . . 4
83 mulclpi 9292 . . . . . 6
8416, 24, 83syl2anc 661 . . . . 5
85 mulclpi 9292 . . . . . 6
8639, 41, 85syl2anc 661 . . . . 5
87 addcanpi 9298 . . . . 5
8884, 86, 87syl2anc 661 . . . 4
8982, 88syl5rbbr 260 . . 3
9037, 43, 893bitr2d 281 . 2
9130, 35, 903bitr4rd 286 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cnpi 9243   cpli 9244   cmi 9245   cplpq 9247   ceq 9250
This theorem is referenced by:  adderpq  9355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-plpq 9307  df-enq 9310
  Copyright terms: Public domain W3C validator