MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid1 Unicode version

Theorem addid1 9781
Description: is an additive identity. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
addid1

Proof of Theorem addid1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9616 . 2
2 ax-rnegex 9584 . 2
3 ax-1ne0 9582 . . . . . 6
4 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
54eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
65biimpcd 224 . . . . . . . 8
7 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
8 ax-icn 9572 . . . . . . . . . . . . . . 15
98, 8mulcli 9622 . . . . . . . . . . . . . 14
109, 9mulcli 9622 . . . . . . . . . . . . 13
11 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . 13
12 0cn 9609 . . . . . . . . . . . . 13
1310, 11, 12adddii 9627 . . . . . . . . . . . 12
1410mulid1i 9619 . . . . . . . . . . . . 13
15 mul01 9780 . . . . . . . . . . . . . . 15
1610, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
17 ax-i2m1 9581 . . . . . . . . . . . . . 14
1816, 17eqtr4i 2489 . . . . . . . . . . . . 13
1914, 18oveq12i 6308 . . . . . . . . . . . 12
2013, 19eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11
2120, 16eqeq12i 2477 . . . . . . . . . 10
2210, 9, 11addassi 9625 . . . . . . . . . . . 12
239mulid1i 9619 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . 14
259, 9, 11adddii 9627 . . . . . . . . . . . . . . 15
2617oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 mul01 9780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
289, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2926, 28eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15
3025, 29eqtr3i 2488 . . . . . . . . . . . . . 14
3124, 30eqtr3i 2488 . . . . . . . . . . . . 13
3231oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12
3322, 32eqtr3i 2488 . . . . . . . . . . 11
34 00id 9776 . . . . . . . . . . . 12
3534eqcomi 2470 . . . . . . . . . . 11
3633, 35eqeq12i 2477 . . . . . . . . . 10
37 0re 9617 . . . . . . . . . . 11
38 readdcan 9775 . . . . . . . . . . 11
391, 37, 37, 38mp3an 1324 . . . . . . . . . 10
4021, 36, 393bitri 271 . . . . . . . . 9
417, 40sylib 196 . . . . . . . 8
426, 41syl6 33 . . . . . . 7
4342necon3d 2681 . . . . . 6
443, 43mpi 17 . . . . 5
45 ax-rrecex 9585 . . . . 5
4644, 45sylan2 474 . . . 4
47 simpr 461 . . . . . . . . . 10
48 simplrl 761 . . . . . . . . . . 11
4948recnd 9643 . . . . . . . . . 10
5047, 49mulcld 9637 . . . . . . . . 9
51 simplll 759 . . . . . . . . . 10
5251recnd 9643 . . . . . . . . 9
5312a1i 11 . . . . . . . . 9
5450, 52, 53adddid 9641 . . . . . . . 8
5511a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
5655, 52, 53addassd 9639 . . . . . . . . . . . 12
57 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13
5857oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
5956, 58eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . 11
6034, 59, 573eqtr4a 2524 . . . . . . . . . 10
6137a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
6251, 61readdcld 9644 . . . . . . . . . . 11
631a1i 11 . . . . . . . . . . 11
64 readdcan 9775 . . . . . . . . . . 11
6562, 51, 63, 64syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
6660, 65mpbid 210 . . . . . . . . 9
6766oveq2d 6312 . . . . . . . 8
6854, 67eqtr3d 2500 . . . . . . 7
69 mul31 9769 . . . . . . . . . 10
7047, 49, 52, 69syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
71 simplrr 762 . . . . . . . . . 10
7271oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
7347mulid2d 9635 . . . . . . . . 9
7470, 72, 733eqtrd 2502 . . . . . . . 8
75 mul01 9780 . . . . . . . . 9
7650, 75syl 16 . . . . . . . 8
7774, 76oveq12d 6314 . . . . . . 7
7868, 77, 743eqtr3d 2506 . . . . . 6
7978exp42 611 . . . . 5
8079rexlimdv 2947 . . . 4
8146, 80mpd 15 . . 3
8281rexlimiva 2945 . 2
831, 2, 82mp2b 10 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518
This theorem is referenced by:  cnegex  9782  addid2  9784  addcan2  9786  addid1i  9788  addid1d  9801  subid  9861  subid1  9862  swrdccat3blem  12720  shftval3  12909  reim0  12951  isercolllem3  13489  fsumcvg  13534  summolem2a  13537  ovolicc1  21927  brbtwn2  24208  axsegconlem1  24220  ax5seglem4  24235  axeuclid  24266  axcontlem2  24268  axcontlem4  24270  relexpadd  29061  risefac1  29155  stoweidlem26  31808  2zrngamnd  32747  aacllem  33216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654
  Copyright terms: Public domain W3C validator