Theorem addid2 9784

Description: is a left identity for addition. This used to be one of our complex number axioms, until it was discovered that it was dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
addid2

Proof of Theorem addid2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnegex 9782	. 2
2		cnegex 9782	. . . 4
3	2	ad2antrl 727	. . 3
4		0cn 9609	. . . . . . . . . 10
5		addass 9600	. . . . . . . . . 10
6	4, 4, 5	mp3an12 1314	. . . . . . . . 9
7	6	adantr 465	. . . . . . . 8
8	7	3ad2ant3 1019	. . . . . . 7
9		00id 9776	. . . . . . . . 9
10	9	oveq1i 6306	. . . . . . . 8
11		simp1 996	. . . . . . . . . . 11
12		simp2l 1022	. . . . . . . . . . 11
13		simp3l 1024	. . . . . . . . . . 11
14	11, 12, 13	addassd 9639	. . . . . . . . . 10
15		simp2r 1023	. . . . . . . . . . 11
16	15	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10
17		simp3r 1025	. . . . . . . . . . 11
18	17	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10
19	14, 16, 18	3eqtr3rd 2507	. . . . . . . . 9
20		addid1 9781	. . . . . . . . . 10
21	20	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqtr3d 2500	. . . . . . . 8
23	10, 22	syl5eq 2510	. . . . . . 7
24	22	oveq2d 6312	. . . . . . 7
25	8, 23, 24	3eqtr3rd 2507	. . . . . 6
26	25	3expia 1198	. . . . 5
27	26	expd 436	. . . 4
28	27	rexlimdv 2947	. . 3
29	3, 28	mpd 15	. 2
30	1, 29	rexlimddv 2953	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  caddc 9516

This theorem is referenced by:  addcan  9785  addid2i  9789  addid2d  9802  negneg  9892  uzindOLD  10982  fzoaddel2  11874  modid  12020  swrds1  12676  isercolllem3  13489  sumrblem  13533  summolem2a  13537  fsum0diag2  13598  eftlub  13844  gcdid  14169  cnaddablx  16874  cnaddabl  16875  cncrng  18439  ptolemy  22889  logtayl  23041  leibpilem2  23272  axcontlem2  24268  usgraexvlem  24395  cnaddablo  25352  cnid  25353  dvcosax  31723  2zrngamnd  32747  aacllem  33216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654