MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addltmul Unicode version

Theorem addltmul 10799
Description: Sum is less than product for numbers greater than 2. (Contributed by Stefan Allan, 24-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
addltmul

Proof of Theorem addltmul
StepHypRef Expression
1 2re 10630 . . . . . . 7
2 1re 9616 . . . . . . 7
3 ltsub1 10073 . . . . . . 7
41, 2, 3mp3an13 1315 . . . . . 6
5 2m1e1 10675 . . . . . . 7
65breq1i 4459 . . . . . 6
74, 6syl6bb 261 . . . . 5
8 ltsub1 10073 . . . . . . 7
91, 2, 8mp3an13 1315 . . . . . 6
105breq1i 4459 . . . . . 6
119, 10syl6bb 261 . . . . 5
127, 11bi2anan9 873 . . . 4
13 peano2rem 9909 . . . . 5
14 peano2rem 9909 . . . . 5
15 mulgt1 10426 . . . . . 6
1615ex 434 . . . . 5
1713, 14, 16syl2an 477 . . . 4
1812, 17sylbid 215 . . 3
19 recn 9603 . . . . . 6
20 recn 9603 . . . . . 6
21 ax-1cn 9571 . . . . . . 7
22 mulsub 10024 . . . . . . . 8
2321, 22mpanl2 681 . . . . . . 7
2421, 23mpanr2 684 . . . . . 6
2519, 20, 24syl2an 477 . . . . 5
2625breq2d 4464 . . . 4
27 1t1e1 10708 . . . . . . 7
2827oveq2i 6307 . . . . . 6
2928breq2i 4460 . . . . 5
30 remulcl 9598 . . . . . . . 8
312, 30mpan2 671 . . . . . . 7
32 remulcl 9598 . . . . . . . 8
332, 32mpan2 671 . . . . . . 7
34 readdcl 9596 . . . . . . 7
3531, 33, 34syl2an 477 . . . . . 6
36 remulcl 9598 . . . . . . 7
372, 2remulcli 9631 . . . . . . 7
38 readdcl 9596 . . . . . . 7
3936, 37, 38sylancl 662 . . . . . 6
40 ltaddsub2 10052 . . . . . . 7
412, 40mp3an2 1312 . . . . . 6
4235, 39, 41syl2anc 661 . . . . 5
4329, 42syl5rbbr 260 . . . 4
44 ltadd1 10044 . . . . . . 7
452, 44mp3an3 1313 . . . . . 6
4635, 36, 45syl2anc 661 . . . . 5
47 ax-1rid 9583 . . . . . . 7
48 ax-1rid 9583 . . . . . . 7
4947, 48oveqan12d 6315 . . . . . 6
5049breq1d 4462 . . . . 5
5146, 50bitr3d 255 . . . 4
5226, 43, 513bitrd 279 . . 3
5318, 52sylibd 214 . 2
5453imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cmin 9828  2c2 10610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-2 10619
  Copyright terms: Public domain W3C validator