MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephadd Unicode version

Theorem alephadd 8973
Description: The sum of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42. (Contributed by NM, 29-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephadd

Proof of Theorem alephadd
StepHypRef Expression
1 ovex 6324 . . . 4
2 alephfnon 8467 . . . . . . . 8
3 fndm 5685 . . . . . . . 8
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7
54eleq2i 2535 . . . . . 6
65notbii 296 . . . . 5
74eleq2i 2535 . . . . . 6
87notbii 296 . . . . 5
9 0ex 4582 . . . . . . . 8
10 cdaval 8571 . . . . . . . 8
119, 9, 10mp2an 672 . . . . . . 7
12 xpundi 5057 . . . . . . 7
13 0xp 5085 . . . . . . 7
1411, 12, 133eqtr2i 2492 . . . . . 6
15 ndmfv 5895 . . . . . . 7
16 ndmfv 5895 . . . . . . 7
1715, 16oveqan12d 6315 . . . . . 6
1815adantr 465 . . . . . . . 8
1916adantl 466 . . . . . . . 8
2018, 19uneq12d 3658 . . . . . . 7
21 un0 3810 . . . . . . 7
2220, 21syl6eq 2514 . . . . . 6
2314, 17, 223eqtr4a 2524 . . . . 5
246, 8, 23syl2anbr 480 . . . 4
25 eqeng 7569 . . . 4
261, 24, 25mpsyl 63 . . 3
2726ex 434 . 2
28 alephgeom 8484 . . 3
29 fvex 5881 . . . . 5
30 ssdomg 7581 . . . . 5
3129, 30ax-mp 5 . . . 4
32 alephon 8471 . . . . . 6
33 onenon 8351 . . . . . 6
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5
35 alephon 8471 . . . . . 6
36 onenon 8351 . . . . . 6
3735, 36ax-mp 5 . . . . 5
38 infcda 8609 . . . . 5
3934, 37, 38mp3an12 1314 . . . 4
4031, 39syl 16 . . 3
4128, 40sylbi 195 . 2
42 alephgeom 8484 . . 3
43 fvex 5881 . . . . 5
44 ssdomg 7581 . . . . 5
4543, 44ax-mp 5 . . . 4
46 cdacomen 8582 . . . . . 6
47 infcda 8609 . . . . . . 7
4837, 34, 47mp3an12 1314 . . . . . 6
49 entr 7587 . . . . . 6
5046, 48, 49sylancr 663 . . . . 5
51 uncom 3647 . . . . 5
5250, 51syl6breq 4491 . . . 4
5345, 52syl 16 . . 3
5442, 53sylbi 195 . 2
5527, 41, 54pm2.61ii 165 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  Fnwfn 5588  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700   c1o 7142   cen 7533   cdom 7534   ccrd 8337   cale 8338   ccda 8568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator