MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephcard Unicode version

Theorem alephcard 8472
Description: Every aleph is a cardinal number. Theorem 65 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephcard

Proof of Theorem alephcard
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . . . 5
21fveq2d 5875 . . . 4
32, 1eqeq12d 2479 . . 3
4 fveq2 5871 . . . . 5
54fveq2d 5875 . . . 4
65, 4eqeq12d 2479 . . 3
7 fveq2 5871 . . . . 5
87fveq2d 5875 . . . 4
98, 7eqeq12d 2479 . . 3
10 fveq2 5871 . . . . 5
1110fveq2d 5875 . . . 4
1211, 10eqeq12d 2479 . . 3
13 cardom 8388 . . . 4
14 aleph0 8468 . . . . 5
1514fveq2i 5874 . . . 4
1613, 15, 143eqtr4i 2496 . . 3
17 harcard 8380 . . . . 5
18 alephsuc 8470 . . . . . 6
1918fveq2d 5875 . . . . 5
2017, 19, 183eqtr4a 2524 . . . 4
2120a1d 25 . . 3
22 vex 3112 . . . . . . 7
23 cardiun 8384 . . . . . . 7
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6
2524adantl 466 . . . . 5
26 alephlim 8469 . . . . . . . 8
2722, 26mpan 670 . . . . . . 7
2827adantr 465 . . . . . 6
2928fveq2d 5875 . . . . 5
3025, 29, 283eqtr4d 2508 . . . 4
3130ex 434 . . 3
323, 6, 9, 12, 16, 21, 31tfinds 6694 . 2
33 card0 8360 . . 3
34 alephfnon 8467 . . . . . . 7
35 fndm 5685 . . . . . . 7
3634, 35ax-mp 5 . . . . . 6
3736eleq2i 2535 . . . . 5
38 ndmfv 5895 . . . . 5
3937, 38sylnbir 307 . . . 4
4039fveq2d 5875 . . 3
4133, 40, 393eqtr4a 2524 . 2
4232, 41pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109   c0 3784  U_ciun 4330   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  Fnwfn 5588  `cfv 5593   com 6700   char 8003   ccrd 8337   cale 8338
This theorem is referenced by:  alephnbtwn2  8474  alephord2  8478  alephsuc2  8482  alephislim  8485  alephsdom  8488  cardaleph  8491  cardalephex  8492  alephval3  8512  alephval2  8968  alephsuc3  8976  alephreg  8978  pwcfsdom  8979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342
  Copyright terms: Public domain W3C validator