Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephfp Unicode version

Theorem alephfp 8415
 Description: The aleph function has a fixed point. Similar to Proposition 11.18 of [TakeutiZaring] p. 104, except that we construct an actual example of a fixed point rather than just showing its existence. See alephfp2 8416 for an abbreviated version just showing existence. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
alephfplem.1
Assertion
Ref Expression
alephfp

Proof of Theorem alephfp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephfplem.1 . . 3
21alephfplem4 8414 . 2
3 isinfcard 8399 . . 3
4 cardalephex 8397 . . . 4
54biimpa 484 . . 3
63, 5sylbir 213 . 2
7 alephle 8395 . . . . . . . . 9
8 alephon 8376 . . . . . . . . . . 11
98onirri 4942 . . . . . . . . . 10
10 frfnom 7024 . . . . . . . . . . . . . 14
111fneq1i 5624 . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13
13 fnfun 5627 . . . . . . . . . . . . 13
14 eluniima 6092 . . . . . . . . . . . . 13
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12
16 alephsson 8407 . . . . . . . . . . . . . . . 16
171alephfplem3 8413 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1816, 17sseldi 3468 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 alephord2i 8384 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
211alephfplem2 8412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 peano2 6629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23 fnfvelrn 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2412, 23mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25 fnima 5648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2612, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2724, 26syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2822, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2921, 28eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 elssuni 4238 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231sseld 3469 . . . . . . . . . . . . . 14
3320, 32syld 44 . . . . . . . . . . . . 13
3433rexlimiv 2944 . . . . . . . . . . . 12
3515, 34sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
36 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . 12
37 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
3935, 38mpbii 211 . . . . . . . . . 10
409, 39mtoi 178 . . . . . . . . 9
417, 40anim12i 566 . . . . . . . 8
42 eloni 4846 . . . . . . . . . 10
438onordi 4940 . . . . . . . . . 10
44 ordtri4 4873 . . . . . . . . . 10
4542, 43, 44sylancl 662 . . . . . . . . 9
4645adantr 465 . . . . . . . 8
4741, 46mpbird 232 . . . . . . 7
48 eqeq2 2469 . . . . . . . 8
4948adantl 466 . . . . . . 7
5047, 49mpbird 232 . . . . . 6
5150eqcomd 2462 . . . . 5
5251fveq2d 5817 . . . 4
53 eqeq2 2469 . . . . 5
5453adantl 466 . . . 4
5552, 54mpbird 232 . . 3
5655rexlimiva 2945 . 2
572, 6, 56mp2b 10 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  E.wrex 2801  C_wss 3442  U.cuni 4208  Ordword 4835   con0 4836  succsuc 4838  rancrn 4958  |cres 4959  "cima 4960  Funwfun 5531  Fnwfn 5532  cfv 5537   com 6609  reccrdg 6999   ccrd 8242   cale 8243 This theorem is referenced by:  alephfp2  8416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-om 6610  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-oi 7861  df-har 7910  df-card 8246  df-aleph 8247
 Copyright terms: Public domain W3C validator