MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephfp Unicode version

Theorem alephfp 8510
Description: The aleph function has a fixed point. Similar to Proposition 11.18 of [TakeutiZaring] p. 104, except that we construct an actual example of a fixed point rather than just showing its existence. See alephfp2 8511 for an abbreviated version just showing existence. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
alephfplem.1
Assertion
Ref Expression
alephfp

Proof of Theorem alephfp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephfplem.1 . . 3
21alephfplem4 8509 . 2
3 isinfcard 8494 . . 3
4 cardalephex 8492 . . . 4
54biimpa 484 . . 3
63, 5sylbir 213 . 2
7 alephle 8490 . . . . . . . . 9
8 alephon 8471 . . . . . . . . . . 11
98onirri 4989 . . . . . . . . . 10
10 frfnom 7119 . . . . . . . . . . . . . 14
111fneq1i 5680 . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13
13 fnfun 5683 . . . . . . . . . . . . 13
14 eluniima 6162 . . . . . . . . . . . . 13
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12
16 alephsson 8502 . . . . . . . . . . . . . . . 16
171alephfplem3 8508 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1816, 17sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 alephord2i 8479 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
211alephfplem2 8507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 peano2 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2412, 23mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25 fnima 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2612, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2724, 26syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2822, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2921, 28eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 elssuni 4279 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . 14
3320, 32syld 44 . . . . . . . . . . . . 13
3433rexlimiv 2943 . . . . . . . . . . . 12
3515, 34sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
36 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . 12
37 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
3935, 38mpbii 211 . . . . . . . . . 10
409, 39mtoi 178 . . . . . . . . 9
417, 40anim12i 566 . . . . . . . 8
42 eloni 4893 . . . . . . . . . 10
438onordi 4987 . . . . . . . . . 10
44 ordtri4 4920 . . . . . . . . . 10
4542, 43, 44sylancl 662 . . . . . . . . 9
4645adantr 465 . . . . . . . 8
4741, 46mpbird 232 . . . . . . 7
48 eqeq2 2472 . . . . . . . 8
4948adantl 466 . . . . . . 7
5047, 49mpbird 232 . . . . . 6
5150eqcomd 2465 . . . . 5
5251fveq2d 5875 . . . 4
53 eqeq2 2472 . . . . 5
5453adantl 466 . . . 4
5552, 54mpbird 232 . . 3
5655rexlimiva 2945 . 2
572, 6, 56mp2b 10 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  C_wss 3475  U.cuni 4249  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094   ccrd 8337   cale 8338
This theorem is referenced by:  alephfp2  8511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342
  Copyright terms: Public domain W3C validator