MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephfp Unicode version

Theorem alephfp 8225
Description: The aleph function has a fixed point. Similar to Proposition 11.18 of [TakeutiZaring] p. 104, except that we construct an actual example of a fixed point rather than just showing its existence. See alephfp2 8226 for an abbreviated version just showing existence. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
alephfplem.1
Assertion
Ref Expression
alephfp

Proof of Theorem alephfp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephfplem.1 . . 3
21alephfplem4 8224 . 2
3 isinfcard 8209 . . 3
4 cardalephex 8207 . . . 4
54biimpa 474 . . 3
63, 5sylbir 207 . 2
7 alephle 8205 . . . . . . . . 9
8 alephon 8186 . . . . . . . . . . 11
98onirri 4796 . . . . . . . . . 10
10 frfnom 6849 . . . . . . . . . . . . . 14
111fneq1i 5475 . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11mpbir 203 . . . . . . . . . . . . 13
13 fnfun 5478 . . . . . . . . . . . . 13
14 eluniima 5935 . . . . . . . . . . . . 13
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12
16 alephsson 8217 . . . . . . . . . . . . . . . 16
171alephfplem3 8223 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1816, 17sseldi 3331 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 alephord2i 8194 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
211alephfplem2 8222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 peano2 6466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23 fnfvelrn 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2412, 23mpan 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25 fnima 5499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2612, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2724, 26syl6eleqr 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2822, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2921, 28eqeltrrd 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 elssuni 4096 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231sseld 3332 . . . . . . . . . . . . . 14
3320, 32syld 43 . . . . . . . . . . . . 13
3433rexlimiv 2814 . . . . . . . . . . . 12
3515, 34sylbi 189 . . . . . . . . . . 11
36 eleq2 2483 . . . . . . . . . . . 12
37 eleq2 2483 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37imbi12d 314 . . . . . . . . . . 11
3935, 38mpbii 205 . . . . . . . . . 10
409, 39mtoi 172 . . . . . . . . 9
417, 40anim12i 553 . . . . . . . 8
42 eloni 4700 . . . . . . . . . 10
438onordi 4794 . . . . . . . . . 10
44 ordtri4 4727 . . . . . . . . . 10
4542, 43, 44sylancl 647 . . . . . . . . 9
4645adantr 455 . . . . . . . 8
4741, 46mpbird 226 . . . . . . 7
48 eqeq2 2431 . . . . . . . 8
4948adantl 456 . . . . . . 7
5047, 49mpbird 226 . . . . . 6
5150eqcomd 2427 . . . . 5
5251fveq2d 5665 . . . 4
53 eqeq2 2431 . . . . 5
5453adantl 456 . . . 4
5552, 54mpbird 226 . . 3
5655rexlimiva 2815 . 2
572, 6, 56mp2b 10 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  E.wrex 2695  C_wss 3305  U.cuni 4066  Ordword 4689   con0 4690  succsuc 4692  rancrn 4812  |`cres 4813  "cima 4814  Funwfun 5384  Fnwfn 5385  `cfv 5390   com 6446  reccrdg 6824   ccrd 8052   cale 8053
This theorem is referenced by:  alephfp2  8226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-om 6447  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-oi 7671  df-har 7720  df-card 8056  df-aleph 8057
  Copyright terms: Public domain W3C validator