MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Unicode version

Theorem alephgeom 8484
Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 8468 . . 3
2 0ss 3814 . . . 4
3 0elon 4936 . . . . 5
4 alephord3 8480 . . . . 5
53, 4mpan 670 . . . 4
62, 5mpbii 211 . . 3
71, 6syl5eqssr 3548 . 2
8 peano1 6719 . . . . . 6
9 ordom 6709 . . . . . . . 8
10 ord0 4935 . . . . . . . 8
11 ordtri1 4916 . . . . . . . 8
129, 10, 11mp2an 672 . . . . . . 7
1312con2bii 332 . . . . . 6
148, 13mpbi 208 . . . . 5
15 ndmfv 5895 . . . . . 6
1615sseq2d 3531 . . . . 5
1714, 16mtbiri 303 . . . 4
1817con4i 130 . . 3
19 alephfnon 8467 . . . 4
20 fndm 5685 . . . 4
2119, 20ax-mp 5 . . 3
2218, 21syl6eleq 2555 . 2
237, 22impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475   c0 3784  Ordword 4882   con0 4883  domcdm 5004  Fnwfn 5588  `cfv 5593   com 6700   cale 8338
This theorem is referenced by:  alephislim  8485  cardalephex  8492  isinfcard  8494  alephval3  8512  alephval2  8968  alephadd  8973  alephmul  8974  alephexp1  8975  alephsuc3  8976  alephexp2  8977  alephreg  8978  pwcfsdom  8979  cfpwsdom  8980  gchaleph  9070  gchaleph2  9071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342
  Copyright terms: Public domain W3C validator