MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephinit Unicode version

Theorem alephinit 8497
Description: An infinite initial ordinal is characterized by the property of being initial - that is, it is a subset of any dominating ordinal. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
alephinit
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem alephinit
StepHypRef Expression
1 isinfcard 8494 . . . . 5
21bicomi 202 . . . 4
32baib 903 . . 3
43adantl 466 . 2
5 onenon 8351 . . . . . . . 8
65adantr 465 . . . . . . 7
7 onenon 8351 . . . . . . 7
8 carddom2 8379 . . . . . . 7
96, 7, 8syl2an 477 . . . . . 6
10 cardonle 8359 . . . . . . . 8
1110adantl 466 . . . . . . 7
12 sstr 3511 . . . . . . . 8
1312expcom 435 . . . . . . 7
1411, 13syl 16 . . . . . 6
159, 14sylbird 235 . . . . 5
16 sseq1 3524 . . . . . 6
1716imbi2d 316 . . . . 5
1815, 17syl5ibcom 220 . . . 4
1918ralrimdva 2875 . . 3
20 oncardid 8358 . . . . . . 7
21 ensym 7584 . . . . . . 7
22 endom 7562 . . . . . . 7
2320, 21, 223syl 20 . . . . . 6
2423adantr 465 . . . . 5
25 cardon 8346 . . . . . 6
26 breq2 4456 . . . . . . . 8
27 sseq2 3525 . . . . . . . 8
2826, 27imbi12d 320 . . . . . . 7
2928rspcv 3206 . . . . . 6
3025, 29ax-mp 5 . . . . 5
3124, 30syl5com 30 . . . 4
32 cardonle 8359 . . . . . . 7
3332adantr 465 . . . . . 6
3433biantrurd 508 . . . . 5
35 eqss 3518 . . . . 5
3634, 35syl6bbr 263 . . . 4
3731, 36sylibd 214 . . 3
3819, 37impbid 191 . 2
394, 38bitrd 253 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475   class class class wbr 4452   con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cdom 7534   ccrd 8337   cale 8338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342
  Copyright terms: Public domain W3C validator