Theorem alephiso 8500

Description: Aleph is an order isomorphism of the class of ordinal numbers onto the class of infinite cardinals. Definition 10.27 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
alephiso

Proof of Theorem alephiso

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephfnon 8467	. . . . . 6
2		isinfcard 8494	. . . . . . . 8
3	2	bicomi 202	. . . . . . 7
4	3	abbi2i 2590	. . . . . 6
5		df-fo 5599	. . . . . 6
6	1, 4, 5	mpbir2an 920	. . . . 5
7		fof 5800	. . . . 5
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4
9		aleph11 8486	. . . . . 6
10	9	biimpd 207	. . . . 5
11	10	rgen2a 2884	. . . 4
12		dff13 6166	. . . 4
13	8, 11, 12	mpbir2an 920	. . 3
14		df-f1o 5600	. . 3
15	13, 6, 14	mpbir2an 920	. 2
16		alephord2 8478	. . . 4
17		epel 4799	. . . 4
18		fvex 5881	. . . . 5
19	18	epelc 4798	. . . 4
20	16, 17, 19	3bitr4g 288	. . 3
21	20	rgen2a 2884	. 2
22		df-isom 5602	. 2
23	15, 21, 22	mpbir2an 920	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  C_wss 3475   class class class wbr 4452  cep 4794  con0 4883  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  com 6700  ccrd 8337  cale 8338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342