MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephiso Unicode version

Theorem alephiso 8030
Description: Aleph is an order isomorphism of the class of ordinal numbers onto the class of infinite cardinals. Definition 10.27 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
alephiso

Proof of Theorem alephiso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephfnon 7997 . . . . . 6
2 isinfcard 8024 . . . . . . . 8
32bicomi 195 . . . . . . 7
43abbi2i 2554 . . . . . 6
5 df-fo 5507 . . . . . 6
61, 4, 5mpbir2an 888 . . . . 5
7 fof 5700 . . . . 5
86, 7ax-mp 5 . . . 4
9 aleph11 8016 . . . . . 6
109biimpd 200 . . . . 5
1110rgen2a 2779 . . . 4
12 dff13 6052 . . . 4
138, 11, 12mpbir2an 888 . . 3
14 df-f1o 5508 . . 3
1513, 6, 14mpbir2an 888 . 2
16 alephord2 8008 . . . 4
17 epel 4538 . . . 4
18 fvex 5785 . . . . 5
1918epelc 4537 . . . 4
2016, 17, 193bitr4g 281 . . 3
2120rgen2a 2779 . 2
22 df-isom 5510 . 2
2315, 21, 22mpbir2an 888 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  =wceq 1654  e.wcel 1728  {cab 2429  A.wral 2712  C_wss 3309   class class class wbr 4243   cep 4533   con0 4622   com 4886  rancrn 4920  Fnwfn 5496  -->wf 5497  -1-1->wf1 5498  -onto->wfo 5499  -1-1-onto->wf1o 5500  `cfv 5501  Isomwiso 5502   ccrd 7873   cale 7874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4354  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-inf2 7645
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-se 4583  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-isom 5510  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-fin 7162  df-oi 7528  df-har 7575  df-card 7877  df-aleph 7878
  Copyright terms: Public domain W3C validator