Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephle Unicode version

Theorem alephle 8490
 Description: The argument of the aleph function is less than or equal to its value. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 91. (Later, in alephfp2 8511, we will that equality can sometimes hold.) (Contributed by NM, 9-Nov-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephle

Proof of Theorem alephle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3
2 fveq2 5871 . . 3
31, 2sseq12d 3532 . 2
4 id 22 . . 3
5 fveq2 5871 . . 3
64, 5sseq12d 3532 . 2
7 alephord2i 8479 . . . . . 6
87imp 429 . . . . 5
9 onelon 4908 . . . . . 6
10 alephon 8471 . . . . . 6
11 ontr2 4930 . . . . . 6
129, 10, 11sylancl 662 . . . . 5
138, 12mpan2d 674 . . . 4
1413ralimdva 2865 . . 3
1510onirri 4989 . . . . 5
16 eleq1 2529 . . . . . 6
1716rspccv 3207 . . . . 5
1815, 17mtoi 178 . . . 4
19 ontri1 4917 . . . . 5
2010, 19mpan2 671 . . . 4
2118, 20syl5ibr 221 . . 3
2214, 21syld 44 . 2
233, 6, 22tfis3 6692 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475   con0 4883  `cfv 5593   cale 8338 This theorem is referenced by:  cardaleph  8491  alephfp  8510  winafp  9096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342
 Copyright terms: Public domain W3C validator