Theorem alephnbtwn 8473

Description: No cardinal can be sandwiched between an aleph and its successor aleph. Theorem 67 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 10-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
alephnbtwn

Proof of Theorem alephnbtwn

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephon 8471	. . . . . . . 8
2		id 22	. . . . . . . . . 10
3		cardon 8346	. . . . . . . . . 10
4	2, 3	syl6eqelr 2554	. . . . . . . . 9
5		onenon 8351	. . . . . . . . 9
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . 8
7		cardsdomel 8376	. . . . . . . 8
8	1, 6, 7	sylancr 663	. . . . . . 7
9		eleq2 2530	. . . . . . 7
10	8, 9	bitrd 253	. . . . . 6
11	10	adantl 466	. . . . 5
12		alephsuc 8470	. . . . . . . . . . 11
13		onenon 8351	. . . . . . . . . . . 12
14		harval2 8399	. . . . . . . . . . . 12
15	1, 13, 14	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11
16	12, 15	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10
17	16	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9
18	17	biimpd 207	. . . . . . . 8
19		breq2 4456	. . . . . . . . 9
20	19	onnminsb 6639	. . . . . . . 8
21	18, 20	sylan9 657	. . . . . . 7
22	21	con2d 115	. . . . . 6
23	4, 22	sylan2 474	. . . . 5
24	11, 23	sylbird 235	. . . 4
25		imnan 422	. . . 4
26	24, 25	sylib 196	. . 3
27	26	ex 434	. 2
28		n0i 3789	. . . . . . 7
29		alephfnon 8467	. . . . . . . . . 10
30		fndm 5685	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
32	31	eleq2i 2535	. . . . . . . 8
33		ndmfv 5895	. . . . . . . 8
34	32, 33	sylnbir 307	. . . . . . 7
35	28, 34	nsyl2 127	. . . . . 6
36		sucelon 6652	. . . . . 6
37	35, 36	sylibr 212	. . . . 5
38	37	adantl 466	. . . 4
39	38	con3i 135	. . 3
40	39	a1d 25	. 2
41	27, 40	pm2.61i 164	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  c0 3784  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  Fnwfn 5588  `cfv 5593  csdm 7535  char 8003  ccrd 8337  cale 8338

This theorem is referenced by:  alephnbtwn2  8474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342