Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephnbtwn Unicode version

Theorem alephnbtwn 8473
 Description: No cardinal can be sandwiched between an aleph and its successor aleph. Theorem 67 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 10-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephnbtwn

Proof of Theorem alephnbtwn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephon 8471 . . . . . . . 8
2 id 22 . . . . . . . . . 10
3 cardon 8346 . . . . . . . . . 10
42, 3syl6eqelr 2554 . . . . . . . . 9
5 onenon 8351 . . . . . . . . 9
64, 5syl 16 . . . . . . . 8
7 cardsdomel 8376 . . . . . . . 8
81, 6, 7sylancr 663 . . . . . . 7
9 eleq2 2530 . . . . . . 7
108, 9bitrd 253 . . . . . 6
1110adantl 466 . . . . 5
12 alephsuc 8470 . . . . . . . . . . 11
13 onenon 8351 . . . . . . . . . . . 12
14 harval2 8399 . . . . . . . . . . . 12
151, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
1612, 15syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
1716eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
1817biimpd 207 . . . . . . . 8
19 breq2 4456 . . . . . . . . 9
2019onnminsb 6639 . . . . . . . 8
2118, 20sylan9 657 . . . . . . 7
2221con2d 115 . . . . . 6
234, 22sylan2 474 . . . . 5
2411, 23sylbird 235 . . . 4
25 imnan 422 . . . 4
2624, 25sylib 196 . . 3
2726ex 434 . 2
28 n0i 3789 . . . . . . 7
29 alephfnon 8467 . . . . . . . . . 10
30 fndm 5685 . . . . . . . . . 10
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9
3231eleq2i 2535 . . . . . . . 8
33 ndmfv 5895 . . . . . . . 8
3432, 33sylnbir 307 . . . . . . 7
3528, 34nsyl2 127 . . . . . 6
36 sucelon 6652 . . . . . 6
3735, 36sylibr 212 . . . . 5
3837adantl 466 . . . 4
3938con3i 135 . . 3
4039a1d 25 . 2
4127, 40pm2.61i 164 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   c0 3784  |^|cint 4286   class class class wbr 4452   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  Fnwfn 5588  `cfv 5593   csdm 7535   char 8003   ccrd 8337   cale 8338 This theorem is referenced by:  alephnbtwn2  8474 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342
 Copyright terms: Public domain W3C validator