MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephon Unicode version

Theorem alephon 8471
Description: An aleph is an ordinal number. (Contributed by NM, 10-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephon

Proof of Theorem alephon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephfnon 8467 . . 3
2 fveq2 5871 . . . . . 6
32eleq1d 2526 . . . . 5
4 fveq2 5871 . . . . . 6
54eleq1d 2526 . . . . 5
6 fveq2 5871 . . . . . 6
76eleq1d 2526 . . . . 5
8 aleph0 8468 . . . . . 6
9 omelon 8084 . . . . . 6
108, 9eqeltri 2541 . . . . 5
11 alephsuc 8470 . . . . . . 7
12 harcl 8008 . . . . . . 7
1311, 12syl6eqel 2553 . . . . . 6
1413a1d 25 . . . . 5
15 vex 3112 . . . . . . 7
16 fvex 5881 . . . . . . 7
1715, 16iunonOLD 7029 . . . . . 6
18 alephlim 8469 . . . . . . . 8
1915, 18mpan 670 . . . . . . 7
2019eleq1d 2526 . . . . . 6
2117, 20syl5ibr 221 . . . . 5
223, 5, 7, 5, 10, 14, 21tfinds 6694 . . . 4
2322rgen 2817 . . 3
24 ffnfv 6057 . . 3
251, 23, 24mpbir2an 920 . 2
26 0elon 4936 . 2
2725, 26f0cli 6042 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109   c0 3784  U_ciun 4330   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593   com 6700   char 8003   cale 8338
This theorem is referenced by:  alephnbtwn  8473  alephnbtwn2  8474  alephordilem1  8475  alephord  8477  alephord2  8478  alephord3  8480  alephsucdom  8481  alephsuc2  8482  alephf1  8487  alephsdom  8488  alephdom2  8489  alephle  8490  cardaleph  8491  alephf1ALT  8505  alephfp  8510  dfac12k  8548  alephsing  8677  alephval2  8968  alephadd  8973  alephmul  8974  alephexp1  8975  alephsuc3  8976  alephreg  8978  pwcfsdom  8979  cfpwsdom  8980  gchaleph  9070  gchaleph2  9071  gch2  9074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-en 7537  df-dom 7538  df-oi 7956  df-har 8005  df-aleph 8342
  Copyright terms: Public domain W3C validator