MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephordi Unicode version

Theorem alephordi 8476
Description: Strict ordering property of the aleph function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephordi

Proof of Theorem alephordi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2530 . . 3
2 fveq2 5871 . . . 4
32breq2d 4464 . . 3
41, 3imbi12d 320 . 2
5 eleq2 2530 . . 3
6 fveq2 5871 . . . 4
76breq2d 4464 . . 3
85, 7imbi12d 320 . 2
9 eleq2 2530 . . 3
10 fveq2 5871 . . . 4
1110breq2d 4464 . . 3
129, 11imbi12d 320 . 2
13 eleq2 2530 . . 3
14 fveq2 5871 . . . 4
1514breq2d 4464 . . 3
1613, 15imbi12d 320 . 2
17 noel 3788 . . 3
1817pm2.21i 131 . 2
19 vex 3112 . . . . 5
2019elsuc2 4953 . . . 4
21 alephordilem1 8475 . . . . . . . . 9
22 sdomtr 7675 . . . . . . . . 9
2321, 22sylan2 474 . . . . . . . 8
2423expcom 435 . . . . . . 7
2524imim2d 52 . . . . . 6
2625com23 78 . . . . 5
27 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
2827breq1d 4462 . . . . . . . 8
2921, 28syl5ibr 221 . . . . . . 7
3029a1d 25 . . . . . 6
3130com3r 79 . . . . 5
3226, 31jaod 380 . . . 4
3320, 32syl5bi 217 . . 3
3433com23 78 . 2
35 fvex 5881 . . . . . . 7
3635a1i 11 . . . . . 6
37 fveq2 5871 . . . . . . . 8
3837ssiun2s 4374 . . . . . . 7
39 vex 3112 . . . . . . . . 9
40 alephlim 8469 . . . . . . . . 9
4139, 40mpan 670 . . . . . . . 8
4241sseq2d 3531 . . . . . . 7
4338, 42syl5ibr 221 . . . . . 6
44 ssdomg 7581 . . . . . 6
4536, 43, 44sylsyld 56 . . . . 5
46 limsuc 6684 . . . . . . . . . 10
47 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
4847ssiun2s 4374 . . . . . . . . . . . 12
4941sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . 12
5048, 49syl5ibr 221 . . . . . . . . . . 11
51 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . 11
5236, 50, 51sylsyld 56 . . . . . . . . . 10
5346, 52sylbid 215 . . . . . . . . 9
5453imp 429 . . . . . . . 8
55 domnsym 7663 . . . . . . . 8
5654, 55syl 16 . . . . . . 7
57 limelon 4946 . . . . . . . . . 10
5839, 57mpan 670 . . . . . . . . 9
59 onelon 4908 . . . . . . . . 9
6058, 59sylan 471 . . . . . . . 8
61 ensym 7584 . . . . . . . . 9
62 alephordilem1 8475 . . . . . . . . 9
63 ensdomtr 7673 . . . . . . . . . 10
6463ex 434 . . . . . . . . 9
6561, 62, 64syl2im 38 . . . . . . . 8
6660, 65syl5com 30 . . . . . . 7
6756, 66mtod 177 . . . . . 6
6867ex 434 . . . . 5
6945, 68jcad 533 . . . 4
70 brsdom 7558 . . . 4
7169, 70syl6ibr 227 . . 3
7271a1d 25 . 2
734, 8, 12, 16, 18, 34, 72tfinds 6694 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330   class class class wbr 4452   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  `cfv 5593   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cale 8338
This theorem is referenced by:  alephord  8477  alephval2  8968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342
  Copyright terms: Public domain W3C validator