Theorem alephordi 8476

Description: Strict ordering property of the aleph function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephordi

Proof of Theorem alephordi

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2530	. . 3
2		fveq2 5871	. . . 4
3	2	breq2d 4464	. . 3
4	1, 3	imbi12d 320	. 2
5		eleq2 2530	. . 3
6		fveq2 5871	. . . 4
7	6	breq2d 4464	. . 3
8	5, 7	imbi12d 320	. 2
9		eleq2 2530	. . 3
10		fveq2 5871	. . . 4
11	10	breq2d 4464	. . 3
12	9, 11	imbi12d 320	. 2
13		eleq2 2530	. . 3
14		fveq2 5871	. . . 4
15	14	breq2d 4464	. . 3
16	13, 15	imbi12d 320	. 2
17		noel 3788	. . 3
18	17	pm2.21i 131	. 2
19		vex 3112	. . . . 5
20	19	elsuc2 4953	. . . 4
21		alephordilem1 8475	. . . . . . . . 9
22		sdomtr 7675	. . . . . . . . 9
23	21, 22	sylan2 474	. . . . . . . 8
24	23	expcom 435	. . . . . . 7
25	24	imim2d 52	. . . . . 6
26	25	com23 78	. . . . 5
27		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
28	27	breq1d 4462	. . . . . . . 8
29	21, 28	syl5ibr 221	. . . . . . 7
30	29	a1d 25	. . . . . 6
31	30	com3r 79	. . . . 5
32	26, 31	jaod 380	. . . 4
33	20, 32	syl5bi 217	. . 3
34	33	com23 78	. 2
35		fvex 5881	. . . . . . 7
36	35	a1i 11	. . . . . 6
37		fveq2 5871	. . . . . . . 8
38	37	ssiun2s 4374	. . . . . . 7
39		vex 3112	. . . . . . . . 9
40		alephlim 8469	. . . . . . . . 9
41	39, 40	mpan 670	. . . . . . . 8
42	41	sseq2d 3531	. . . . . . 7
43	38, 42	syl5ibr 221	. . . . . 6
44		ssdomg 7581	. . . . . 6
45	36, 43, 44	sylsyld 56	. . . . 5
46		limsuc 6684	. . . . . . . . . 10
47		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	ssiun2s 4374	. . . . . . . . . . . 12
49	41	sseq2d 3531	. . . . . . . . . . . 12
50	48, 49	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . 11
51		ssdomg 7581	. . . . . . . . . . 11
52	36, 50, 51	sylsyld 56	. . . . . . . . . 10
53	46, 52	sylbid 215	. . . . . . . . 9
54	53	imp 429	. . . . . . . 8
55		domnsym 7663	. . . . . . . 8
56	54, 55	syl 16	. . . . . . 7
57		limelon 4946	. . . . . . . . . 10
58	39, 57	mpan 670	. . . . . . . . 9
59		onelon 4908	. . . . . . . . 9
60	58, 59	sylan 471	. . . . . . . 8
61		ensym 7584	. . . . . . . . 9
62		alephordilem1 8475	. . . . . . . . 9
63		ensdomtr 7673	. . . . . . . . . 10
64	63	ex 434	. . . . . . . . 9
65	61, 62, 64	syl2im 38	. . . . . . . 8
66	60, 65	syl5com 30	. . . . . . 7
67	56, 66	mtod 177	. . . . . 6
68	67	ex 434	. . . . 5
69	45, 68	jcad 533	. . . 4
70		brsdom 7558	. . . 4
71	69, 70	syl6ibr 227	. . 3
72	71	a1d 25	. 2
73	4, 8, 12, 16, 18, 34, 72	tfinds 6694	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  `cfv 5593  cen 7533  cdom 7534  csdm 7535  cale 8338

This theorem is referenced by:  alephord  8477  alephval2  8968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342