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Theorem alephreg 8978
Description: A successor aleph is regular. Theorem 11.15 of [TakeutiZaring] p. 103. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephreg

Proof of Theorem alephreg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephordilem1 8475 . . . 4
2 alephon 8471 . . . . . . . . 9
3 cff1 8659 . . . . . . . . 9
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8
5 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
6 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
76sucex 6646 . . . . . . . . . . . . 13
85, 7iunex 6780 . . . . . . . . . . . 12
9 f1f 5786 . . . . . . . . . . . . . 14
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
11 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13
122oneli 4990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
14 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
152, 13, 14sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
16 onsssuc 4970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1715, 16sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1817anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1918rexbidva 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20 eliun 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2119, 20syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2221ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2312, 22sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 dfss3 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15
2624, 25syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . 14
2726biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13
2810, 11, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
29 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . 12
308, 28, 29mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11
31 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
32 suceloni 6648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 alephislim 8485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3533, 34sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3632, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
37 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38 alephcard 8472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
39 iscard 8377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4039simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4138, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4237, 41vtoclri 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43 alephsucdom 8481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4442, 43syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4536, 44sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4613, 45syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . 14
4847ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . . 13
49 iundom 8938 . . . . . . . . . . . . 13
505, 48, 49sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
5131, 10, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
52 domtr 7588 . . . . . . . . . . 11
5330, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
5453expcom 435 . . . . . . . . 9
5554exlimdv 1724 . . . . . . . 8
564, 55mpi 17 . . . . . . 7
57 alephgeom 8484 . . . . . . . . . 10
58 alephon 8471 . . . . . . . . . . 11
59 infxpen 8413 . . . . . . . . . . 11
6058, 59mpan 670 . . . . . . . . . 10
6157, 60sylbi 195 . . . . . . . . 9
62 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
6362, 41vtoclri 3184 . . . . . . . . . . 11
64 alephsucdom 8481 . . . . . . . . . . 11
6563, 64syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10
66 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
6766xpdom1 7636 . . . . . . . . . 10
6865, 67syl6 33 . . . . . . . . 9
69 domentr 7594 . . . . . . . . . 10
7069expcom 435 . . . . . . . . 9
7161, 68, 70sylsyld 56 . . . . . . . 8
7271imp 429 . . . . . . 7
73 domtr 7588 . . . . . . 7
7456, 72, 73syl2anc 661 . . . . . 6
75 domnsym 7663 . . . . . 6
7674, 75syl 16 . . . . 5
7776ex 434 . . . 4
781, 77mt2d 117 . . 3
79 cfon 8656 . . . . 5
80 cfle 8655 . . . . . 6
81 onsseleq 4924 . . . . . 6
8280, 81mpbii 211 . . . . 5
8379, 2, 82mp2an 672 . . . 4
8483ori 375 . . 3
8578, 84syl 16 . 2
86 cf0 8652 . . 3
87 alephfnon 8467 . . . . . . . 8
88 fndm 5685 . . . . . . . 8
8987, 88ax-mp 5 . . . . . . 7
9089eleq2i 2535 . . . . . 6
91 sucelon 6652 . . . . . 6
9290, 91bitr4i 252 . . . . 5
93 ndmfv 5895 . . . . 5
9492, 93sylnbir 307 . . . 4
9594fveq2d 5875 . . 3
9686, 95, 943eqtr4a 2524 . 2
9785, 96pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330   class class class wbr 4452   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  X.cxp 5002  domcdm 5004  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   ccrd 8337   cale 8338   ccf 8339
This theorem is referenced by:  pwcfsdom  8979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342  df-cf 8343  df-acn 8344  df-ac 8518
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