MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephsing Unicode version

Theorem alephsing 8677
Description: The cofinality of a limit aleph is the same as the cofinality of its argument, so if , then is singular. Conversely, if is regular (i.e. weakly inaccessible), then , so has to be rather large (see alephfp 8510). Proposition 11.13 of [TakeutiZaring] p. 103. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephsing

Proof of Theorem alephsing
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephfnon 8467 . . . . . . 7
2 fnfun 5683 . . . . . . 7
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6
4 simpl 457 . . . . . 6
5 resfunexg 6137 . . . . . 6
63, 4, 5sylancr 663 . . . . 5
7 limelon 4946 . . . . . . . 8
8 onss 6626 . . . . . . . 8
97, 8syl 16 . . . . . . 7
10 fnssres 5699 . . . . . . 7
111, 9, 10sylancr 663 . . . . . 6
12 fvres 5885 . . . . . . . . . . 11
1312adantl 466 . . . . . . . . . 10
14 alephord2i 8479 . . . . . . . . . . 11
1514imp 429 . . . . . . . . . 10
1613, 15eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9
177, 16sylan 471 . . . . . . . 8
1817ralrimiva 2871 . . . . . . 7
19 fnfvrnss 6059 . . . . . . 7
2011, 18, 19syl2anc 661 . . . . . 6
21 df-f 5597 . . . . . 6
2211, 20, 21sylanbrc 664 . . . . 5
23 alephsmo 8504 . . . . . 6
24 fndm 5685 . . . . . . . 8
251, 24ax-mp 5 . . . . . . 7
267, 25syl6eleqr 2556 . . . . . 6
27 smores 7042 . . . . . 6
2823, 26, 27sylancr 663 . . . . 5
29 alephlim 8469 . . . . . . . 8
3029eleq2d 2527 . . . . . . 7
31 eliun 4335 . . . . . . . 8
32 alephon 8471 . . . . . . . . . 10
3332onelssi 4991 . . . . . . . . 9
3433reximi 2925 . . . . . . . 8
3531, 34sylbi 195 . . . . . . 7
3630, 35syl6bi 228 . . . . . 6
3736ralrimiv 2869 . . . . 5
38 feq1 5718 . . . . . . . 8
39 smoeq 7040 . . . . . . . 8
40 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . 12
4140, 12sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . 11
4241sseq2d 3531 . . . . . . . . . 10
4342rexbidva 2965 . . . . . . . . 9
4443ralbidv 2896 . . . . . . . 8
4538, 39, 443anbi123d 1299 . . . . . . 7
4645spcegv 3195 . . . . . 6
4746imp 429 . . . . 5
486, 22, 28, 37, 47syl13anc 1230 . . . 4
49 alephon 8471 . . . . 5
50 cfcof 8675 . . . . 5
5149, 7, 50sylancr 663 . . . 4
5248, 51mpd 15 . . 3
5352expcom 435 . 2
54 cf0 8652 . . 3
55 fvprc 5865 . . . 4
5655fveq2d 5875 . . 3
57 fvprc 5865 . . 3
5854, 56, 573eqtr4a 2524 . 2
5953, 58pm2.61d1 159 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330   con0 4883  Limwlim 4884  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  Smowsmo 7035   cale 8338   ccf 8339
This theorem is referenced by:  alephom  8981  winafp  9096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-smo 7036  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342  df-cf 8343  df-acn 8344
  Copyright terms: Public domain W3C validator