Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephsuc2 Unicode version

Theorem alephsuc2 8482
 Description: An alternate representation of a successor aleph. The aleph function is the function obtained from the hartogs 7990 function by transfinite recursion, starting from . Using this theorem we could define the aleph function with in place of in df-aleph 8342. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephsuc2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem alephsuc2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephsucdom 8481 . . 3
21rabbidv 3101 . 2
3 alephon 8471 . . . . . . 7
43oneli 4990 . . . . . 6
5 alephcard 8472 . . . . . . . . 9
6 iscard 8377 . . . . . . . . 9
75, 6mpbi 208 . . . . . . . 8
87simpri 462 . . . . . . 7
98rspec 2825 . . . . . 6
104, 9jca 532 . . . . 5
11 sdomel 7684 . . . . . . 7
123, 11mpan2 671 . . . . . 6
1312imp 429 . . . . 5
1410, 13impbii 188 . . . 4
15 breq1 4455 . . . . 5
1615elrab 3257 . . . 4
1714, 16bitr4i 252 . . 3
1817eqriv 2453 . 2
192, 18syl6reqr 2517 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811   class class class wbr 4452   con0 4883  succsuc 4885  `cfv 5593   cdom 7534   csdm 7535   ccrd 8337   cale 8338 This theorem is referenced by:  alephsuc3  8976 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342
 Copyright terms: Public domain W3C validator