MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephsuc3 Unicode version

Theorem alephsuc3 8976
Description: An alternate representation of a successor aleph. Compare alephsuc 8470 and alephsuc2 8482. Equality can be obtained by taking the of the right-hand side then using alephcard 8472 and carden 8947. (Contributed by NM, 23-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
alephsuc3
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem alephsuc3
StepHypRef Expression
1 alephsuc2 8482 . . . . 5
2 alephcard 8472 . . . . . . 7
3 alephon 8471 . . . . . . . . 9
4 onenon 8351 . . . . . . . . 9
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8
6 cardval2 8393 . . . . . . . 8
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7
82, 7eqtr3i 2488 . . . . . 6
98a1i 11 . . . . 5
101, 9difeq12d 3622 . . . 4
11 difrab 3771 . . . . 5
12 bren2 7566 . . . . . . 7
1312a1i 11 . . . . . 6
1413rabbiia 3098 . . . . 5
1511, 14eqtr4i 2489 . . . 4
1610, 15syl6req 2515 . . 3
17 alephon 8471 . . . . 5
18 onenon 8351 . . . . 5
1917, 18mp1i 12 . . . 4
20 sucelon 6652 . . . . . 6
21 alephgeom 8484 . . . . . 6
2220, 21bitri 249 . . . . 5
23 fvex 5881 . . . . . 6
24 ssdomg 7581 . . . . . 6
2523, 24ax-mp 5 . . . . 5
2622, 25sylbi 195 . . . 4
27 alephordilem1 8475 . . . 4
28 infdif 8610 . . . 4
2919, 26, 27, 28syl3anc 1228 . . 3
3016, 29eqbrtrd 4472 . 2
3130ensymd 7586 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   class class class wbr 4452   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   ccrd 8337   cale 8338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator