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Theorem alephval2 8968
Description: An alternate way to express the value of the aleph function for nonzero arguments. Theorem 64 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 15-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephval2
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem alephval2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephordi 8476 . . . . . 6
21ralrimiv 2869 . . . . 5
3 alephon 8471 . . . . 5
42, 3jctil 537 . . . 4
5 breq2 4456 . . . . . 6
65ralbidv 2896 . . . . 5
76elrab 3257 . . . 4
84, 7sylibr 212 . . 3
98adantr 465 . 2
10 cardsdomelir 8375 . . . . 5
11 alephcard 8472 . . . . . 6
1211eqcomi 2470 . . . . 5
1310, 12eleq2s 2565 . . . 4
14 omex 8081 . . . . . 6
15 vex 3112 . . . . . 6
16 entri3 8955 . . . . . 6
1714, 15, 16mp2an 672 . . . . 5
18 carddom 8950 . . . . . . . . . 10
1914, 15, 18mp2an 672 . . . . . . . . 9
20 cardom 8388 . . . . . . . . . 10
2120sseq1i 3527 . . . . . . . . 9
2219, 21bitr3i 251 . . . . . . . 8
23 cardidm 8361 . . . . . . . . . 10
24 cardalephex 8492 . . . . . . . . . 10
2523, 24mpbii 211 . . . . . . . . 9
26 alephord 8477 . . . . . . . . . . . . . 14
2726ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13
2815cardid 8943 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 sdomen1 7681 . . . . . . . . . . . . . . 15
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
31 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31syl5rbbr 260 . . . . . . . . . . . . 13
3327, 32sylan9bb 699 . . . . . . . . . . . 12
34 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3534breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 sdomirr 7674 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 sdomen2 7682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3928, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
40 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4139, 40syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4237, 41mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . 15
4336, 42nsyli 141 . . . . . . . . . . . . . 14
4443com12 31 . . . . . . . . . . . . 13
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
4633, 45sylbird 235 . . . . . . . . . . 11
4746exp31 604 . . . . . . . . . 10
4847rexlimdv 2947 . . . . . . . . 9
4925, 48syl5 32 . . . . . . . 8
5022, 49syl5bi 217 . . . . . . 7
5150adantr 465 . . . . . 6
52 ne0i 3790 . . . . . . . . . . . 12
53 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 alephgeom 8484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55 alephon 8471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
56 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5854, 57sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
59 domtr 7588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6058, 59sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
61 domnsym 7663 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6353, 62sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
6463expr 615 . . . . . . . . . . . . 13
6564ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . 12
66 r19.2z 3918 . . . . . . . . . . . . 13
6766ex 434 . . . . . . . . . . . 12
6852, 65, 67syl2im 38 . . . . . . . . . . 11
69 rexnal 2905 . . . . . . . . . . 11
7068, 69syl6ib 226 . . . . . . . . . 10
7170com12 31 . . . . . . . . 9
7271expimpd 603 . . . . . . . 8
7372a1d 25 . . . . . . 7
7473com3r 79 . . . . . 6
7551, 74jaod 380 . . . . 5
7617, 75mpi 17 . . . 4
77 breq2 4456 . . . . . . . 8
7877ralbidv 2896 . . . . . . 7
7978elrab 3257 . . . . . 6
8079simprbi 464 . . . . 5
8180con3i 135 . . . 4
8213, 76, 81syl56 34 . . 3
8382ralrimiv 2869 . 2
84 ssrab2 3584 . . 3
85 oneqmini 4934 . . 3
8684, 85ax-mp 5 . 2
879, 83, 86syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  |^|cint 4286   class class class wbr 4452   con0 4883  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   ccrd 8337   cale 8338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342  df-ac 8518
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