MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephval3 Unicode version

Theorem alephval3 8512
Description: An alternate way to express the value of the aleph function: it is the least infinite cardinal different from all values at smaller arguments. Definition of aleph in [Enderton] p. 212 and definition of aleph in [BellMachover] p. 490 . (Contributed by NM, 16-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephval3
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem alephval3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephcard 8472 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 alephgeom 8484 . . . 4
43biimpi 194 . . 3
5 alephord2i 8479 . . . . 5
6 elirr 8045 . . . . . . 7
7 eleq2 2530 . . . . . . 7
86, 7mtbiri 303 . . . . . 6
98con2i 120 . . . . 5
105, 9syl6 33 . . . 4
1110ralrimiv 2869 . . 3
12 fvex 5881 . . . 4
13 fveq2 5871 . . . . . 6
14 id 22 . . . . . 6
1513, 14eqeq12d 2479 . . . . 5
16 sseq2 3525 . . . . 5
17 eqeq1 2461 . . . . . . 7
1817notbid 294 . . . . . 6
1918ralbidv 2896 . . . . 5
2015, 16, 193anbi123d 1299 . . . 4
2112, 20elab 3246 . . 3
222, 4, 11, 21syl3anbrc 1180 . 2
23 cardalephex 8492 . . . . . . . . . 10
2423biimpac 486 . . . . . . . . 9
25 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 alephord2 8478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2825, 27sylan9bbr 700 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . 14
30 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
3229, 31jcad 533 . . . . . . . . . . . . 13
3332exp4c 608 . . . . . . . . . . . 12
3433com3r 79 . . . . . . . . . . 11
3534imp4b 590 . . . . . . . . . 10
3635reximdv2 2928 . . . . . . . . 9
3724, 36syl5 32 . . . . . . . 8
3837imp 429 . . . . . . 7
39 dfrex2 2908 . . . . . . 7
4038, 39sylib 196 . . . . . 6
41 nan 580 . . . . . 6
4240, 41mpbir 209 . . . . 5
4342ex 434 . . . 4
44 vex 3112 . . . . . . 7
45 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
46 id 22 . . . . . . . . 9
4745, 46eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
48 sseq2 3525 . . . . . . . 8
49 eqeq1 2461 . . . . . . . . . 10
5049notbid 294 . . . . . . . . 9
5150ralbidv 2896 . . . . . . . 8
5247, 48, 513anbi123d 1299 . . . . . . 7
5344, 52elab 3246 . . . . . 6
54 df-3an 975 . . . . . 6
5553, 54bitri 249 . . . . 5
5655notbii 296 . . . 4
5743, 56syl6ibr 227 . . 3
5857ralrimiv 2869 . 2
59 cardon 8346 . . . . . 6
60 eleq1 2529 . . . . . 6
6159, 60mpbii 211 . . . . 5
62613ad2ant1 1017 . . . 4
6362abssi 3574 . . 3
64 oneqmini 4934 . . 3
6563, 64ax-mp 5 . 2
6622, 58, 65syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  |^|cint 4286   con0 4883  `cfv 5593   com 6700   ccrd 8337   cale 8338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342
  Copyright terms: Public domain W3C validator