MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algcvga Unicode version

Theorem algcvga 14208
Description: The countdown function remains after steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
algcvga.1
algcvga.2
algcvga.3
algcvga.4
algcvga.5
Assertion
Ref Expression
algcvga
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,S

Proof of Theorem algcvga
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algcvga.5 . . 3
2 algcvga.3 . . . 4
32ffvelrni 6030 . . 3
41, 3syl5eqel 2549 . 2
5 nn0z 10912 . . . 4
6 eluz1 11114 . . . . 5
7 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
87fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
98eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
109imbi2d 316 . . . . . . 7
11 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
1211fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
1312eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
1413imbi2d 316 . . . . . . 7
15 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
1615fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
1716eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
1817imbi2d 316 . . . . . . 7
19 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
2019fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
2120eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
2221imbi2d 316 . . . . . . 7
23 algcvga.1 . . . . . . . . 9
24 algcvga.2 . . . . . . . . 9
25 algcvga.4 . . . . . . . . 9
2623, 24, 2, 25, 1algcvg 14205 . . . . . . . 8
2726a1i 11 . . . . . . 7
28 nn0ge0 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 0re 9617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 letr 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3432, 33mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3530, 31, 34syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3629, 35mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 elnn0z 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
4036, 39syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14
414, 40sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
4241impr 619 . . . . . . . . . . . 12
4342expcom 435 . . . . . . . . . . 11
44433adant1 1014 . . . . . . . . . 10
4544ancld 553 . . . . . . . . 9
46 nn0uz 11144 . . . . . . . . . . . . 13
47 0zd 10901 . . . . . . . . . . . . 13
48 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
4923a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
5046, 24, 47, 48, 49algrf 14202 . . . . . . . . . . . 12
5150ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . 11
52 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . 14
55 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
5653, 55breq12d 4465 . . . . . . . . . . . . . 14
5754, 56imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13
5857, 25vtoclga 3173 . . . . . . . . . . . 12
5923, 2algcvgb 14207 . . . . . . . . . . . . 13
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
6159, 60syl6bi 228 . . . . . . . . . . . 12
6258, 61mpd 15 . . . . . . . . . . 11
6351, 62syl 16 . . . . . . . . . 10
6446, 24, 47, 48, 49algrp1 14203 . . . . . . . . . . . 12
6564fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
6665eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
6763, 66sylibrd 234 . . . . . . . . 9
6845, 67syl6 33 . . . . . . . 8
6968a2d 26 . . . . . . 7
7010, 14, 18, 22, 27, 69uzind 10979 . . . . . 6
71703expib 1199 . . . . 5
726, 71sylbid 215 . . . 4
735, 72syl 16 . . 3
7473com3r 79 . 2
754, 74mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  {csn 4029   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  o.ccom 5008  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110  seqcseq 12107
This theorem is referenced by:  algfx  14209  eucalgcvga  14215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108
  Copyright terms: Public domain W3C validator