MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algfx Unicode version

Theorem algfx 14209
Description: If reaches a fixed point when the countdown function reaches , remains fixed after steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
algcvga.1
algcvga.2
algcvga.3
algcvga.4
algcvga.5
algfx.6
Assertion
Ref Expression
algfx
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,S   ,   ,N

Proof of Theorem algfx
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algcvga.5 . . . 4
2 algcvga.3 . . . . 5
32ffvelrni 6030 . . . 4
41, 3syl5eqel 2549 . . 3
54nn0zd 10992 . 2
6 uzval 11112 . . . . . . 7
76eleq2d 2527 . . . . . 6
87pm5.32i 637 . . . . 5
9 fveq2 5871 . . . . . . . 8
109eqeq1d 2459 . . . . . . 7
1110imbi2d 316 . . . . . 6
12 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1312eqeq1d 2459 . . . . . . 7
1413imbi2d 316 . . . . . 6
15 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1615eqeq1d 2459 . . . . . . 7
1716imbi2d 316 . . . . . 6
18 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1918eqeq1d 2459 . . . . . . 7
2019imbi2d 316 . . . . . 6
21 eqidd 2458 . . . . . . 7
2221a1i 11 . . . . . 6
236eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
2423pm5.32i 637 . . . . . . . 8
25 eluznn0 11180 . . . . . . . . . . . . . . 15
264, 25sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14
27 nn0uz 11144 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 algcvga.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 0zd 10901 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 algcvga.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
3327, 28, 29, 30, 32algrp1 14203 . . . . . . . . . . . . . 14
3426, 33syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13
3527, 28, 29, 30, 32algrf 14202 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . . . 15
3726, 36syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14
38 algcvga.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3931, 28, 2, 38, 1algcvga 14208 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
41 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4241eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4543, 44eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4642, 45imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 algfx.6 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846, 47vtoclga 3173 . . . . . . . . . . . . . 14
4937, 40, 48sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
5034, 49eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
5150eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
5251biimprd 223 . . . . . . . . . 10
5352expcom 435 . . . . . . . . 9
5453adantl 466 . . . . . . . 8
5524, 54sylbir 213 . . . . . . 7
5655a2d 26 . . . . . 6
5711, 14, 17, 20, 22, 56uzind3 10981 . . . . 5
588, 57sylbi 195 . . . 4
5958ex 434 . . 3
6059com3r 79 . 2
615, 60mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  {crab 2811  {csn 4029   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  o.ccom 5008  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110  seqcseq 12107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108
  Copyright terms: Public domain W3C validator