MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  amgm2 Unicode version

Theorem amgm2 13202
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
amgm2

Proof of Theorem amgm2
StepHypRef Expression
1 2cn 10631 . . . . . 6
2 simpll 753 . . . . . . . . 9
3 simprl 756 . . . . . . . . 9
4 remulcl 9598 . . . . . . . . 9
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . . . . 8
6 mulge0 10095 . . . . . . . 8
7 resqrtcl 13087 . . . . . . . 8
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . . 7
98recnd 9643 . . . . . 6
10 sqmul 12231 . . . . . 6
111, 9, 10sylancr 663 . . . . 5
12 sq2 12264 . . . . . . 7
1312oveq1i 6306 . . . . . 6
145recnd 9643 . . . . . . . 8
15 sqrtth 13197 . . . . . . . 8
1614, 15syl 16 . . . . . . 7
1716oveq2d 6312 . . . . . 6
1813, 17syl5eq 2510 . . . . 5
1911, 18eqtrd 2498 . . . 4
202, 3resubcld 10012 . . . . . . 7
2120sqge0d 12337 . . . . . 6
222recnd 9643 . . . . . . . . . 10
233recnd 9643 . . . . . . . . . 10
24 binom2 12283 . . . . . . . . . 10
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . 9
26 binom2sub 12285 . . . . . . . . . 10
2722, 23, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2825, 27oveq12d 6314 . . . . . . . 8
292resqcld 12336 . . . . . . . . . . 11
30 2re 10630 . . . . . . . . . . . 12
31 remulcl 9598 . . . . . . . . . . . 12
3230, 5, 31sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
3329, 32readdcld 9644 . . . . . . . . . 10
3433recnd 9643 . . . . . . . . 9
3529, 32resubcld 10012 . . . . . . . . . 10
3635recnd 9643 . . . . . . . . 9
373resqcld 12336 . . . . . . . . . 10
3837recnd 9643 . . . . . . . . 9
3934, 36, 38pnpcan2d 9992 . . . . . . . 8
4032recnd 9643 . . . . . . . . . 10
41402timesd 10806 . . . . . . . . 9
42 2t2e4 10710 . . . . . . . . . . 11
4342oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10
44 2cnd 10633 . . . . . . . . . . 11
4544, 44, 14mulassd 9640 . . . . . . . . . 10
4643, 45syl5eqr 2512 . . . . . . . . 9
4729recnd 9643 . . . . . . . . . 10
4847, 40, 40pnncand 9993 . . . . . . . . 9
4941, 46, 483eqtr4rd 2509 . . . . . . . 8
5028, 39, 493eqtrd 2502 . . . . . . 7
512, 3readdcld 9644 . . . . . . . . . 10
5251resqcld 12336 . . . . . . . . 9
5352recnd 9643 . . . . . . . 8
5420resqcld 12336 . . . . . . . . 9
5554recnd 9643 . . . . . . . 8
56 4re 10637 . . . . . . . . . 10
57 remulcl 9598 . . . . . . . . . 10
5856, 5, 57sylancr 663 . . . . . . . . 9
5958recnd 9643 . . . . . . . 8
60 subsub23 9848 . . . . . . . 8
6153, 55, 59, 60syl3anc 1228 . . . . . . 7
6250, 61mpbid 210 . . . . . 6
6321, 62breqtrrd 4478 . . . . 5
6452, 58subge0d 10167 . . . . 5
6563, 64mpbid 210 . . . 4
6619, 65eqbrtrd 4472 . . 3
67 remulcl 9598 . . . . 5
6830, 8, 67sylancr 663 . . . 4
69 sqrtge0 13091 . . . . . 6
705, 6, 69syl2anc 661 . . . . 5
71 0le2 10651 . . . . . 6
72 mulge0 10095 . . . . . 6
7330, 71, 72mpanl12 682 . . . . 5
748, 70, 73syl2anc 661 . . . 4
75 addge0 10066 . . . . 5
7675an4s 826 . . . 4
7768, 51, 74, 76le2sqd 12345 . . 3
7866, 77mpbird 232 . 2
79 2pos 10652 . . . . 5
8030, 79pm3.2i 455 . . . 4
8180a1i 11 . . 3
82 lemuldiv2 10450 . . 3
838, 51, 81, 82syl3anc 1228 . 2
8478, 83mpbid 210 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231  2c2 10610  4c4 10612   cexp 12166   csqrt 13066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069
  Copyright terms: Public domain W3C validator