Theorem arch 10817

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem arch

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4455	. . 3
2	1	rexbidv 2968	. 2
3		nnunb 10816	. . . 4
4		ralnex 2903	. . . 4
5	3, 4	mpbir 209	. . 3
6		rexnal 2905	. . . . 5
7		nnre 10568	. . . . . . . . 9
8		axlttri 9677	. . . . . . . . 9
9	7, 8	sylan2 474	. . . . . . . 8
10		equcom 1794	. . . . . . . . . . 11
11	10	orbi1i 520	. . . . . . . . . 10
12		orcom 387	. . . . . . . . . 10
13	11, 12	bitri 249	. . . . . . . . 9
14	13	notbii 296	. . . . . . . 8
15	9, 14	syl6bb 261	. . . . . . 7
16	15	biimprd 223	. . . . . 6
17	16	reximdva 2932	. . . . 5
18	6, 17	syl5bir 218	. . . 4
19	18	ralimia 2848	. . 3
20	5, 19	ax-mp 5	. 2
21	2, 20	vtoclri 3184	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  cr 9512  clt 9649  cn 10561

This theorem is referenced by:  nnrecl  10818  bndndx  10819  btwnz  10991  uzwo3  11206  zmin  11207  rpnnen1lem5  11241  harmonic  13670  alzdvds  14036  ovolicc2lem4  21931  volsup2  22014  ismbf3d  22061  mbfi1fseqlem6  22127  itg2seq  22149  itg2cnlem1  22168  ply1divex  22537  plydivex  22693  ubthlem1  25786  lnconi  26952  rearchi  27832  esumcst  28071  lgamucov  28580  lgamcvg2  28597  hbtlem5  31077  prmunb2  31191  rfcnnnub  31411  stoweidlem14  31796  stoweidlem60  31842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562