Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  archnq Unicode version

Theorem archnq 9379
 Description: For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
archnq
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem archnq
StepHypRef Expression
1 elpqn 9324 . . . 4
2 xp1st 6830 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3
4 1pi 9282 . . 3
5 addclpi 9291 . . 3
63, 4, 5sylancl 662 . 2
7 xp2nd 6831 . . . . . 6
81, 7syl 16 . . . . 5
9 mulclpi 9292 . . . . 5
106, 8, 9syl2anc 661 . . . 4
11 eqid 2457 . . . . . . 7
12 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
1312eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
1413rspcev 3210 . . . . . . 7
154, 11, 14mp2an 672 . . . . . 6
16 ltexpi 9301 . . . . . 6
1715, 16mpbiri 233 . . . . 5
183, 6, 17syl2anc 661 . . . 4
19 nlt1pi 9305 . . . . 5
20 ltmpi 9303 . . . . . . 7
216, 20syl 16 . . . . . 6
22 mulidpi 9285 . . . . . . . 8
236, 22syl 16 . . . . . . 7
2423breq2d 4464 . . . . . 6
2521, 24bitrd 253 . . . . 5
2619, 25mtbii 302 . . . 4
27 ltsopi 9287 . . . . 5
28 ltrelpi 9288 . . . . 5
2927, 28sotri3 5402 . . . 4
3010, 18, 26, 29syl3anc 1228 . . 3
31 pinq 9326 . . . . . 6
326, 31syl 16 . . . . 5
33 ordpinq 9342 . . . . 5
3432, 33mpdan 668 . . . 4
35 ovex 6324 . . . . . . . 8
364elexi 3119 . . . . . . . 8
3735, 36op2nd 6809 . . . . . . 7
3837oveq2i 6307 . . . . . 6
39 mulidpi 9285 . . . . . . 7
403, 39syl 16 . . . . . 6
4138, 40syl5eq 2510 . . . . 5
4235, 36op1st 6808 . . . . . . 7
4342oveq1i 6306 . . . . . 6
4443a1i 11 . . . . 5
4541, 44breq12d 4465 . . . 4
4634, 45bitrd 253 . . 3
4730, 46mpbird 232 . 2
48 opeq1 4217 . . . 4
4948breq2d 4464 . . 3
5049rspcev 3210 . 2
516, 47, 50syl2anc 661 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   c1o 7142   cnpi 9243   cpli 9244   cmi 9245   clti 9246   cnq 9251   cltq 9257 This theorem is referenced by:  prlem934  9432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-ltpq 9309  df-nq 9311  df-ltnq 9317
 Copyright terms: Public domain W3C validator