MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arisum Unicode version

Theorem arisum 13671
Description: Arithmetic series sum of the first positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
arisum
Distinct variable group:   ,N

Proof of Theorem arisum
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . 2
2 1zzd 10920 . . . . . 6
3 nnz 10911 . . . . . 6
4 elfzelz 11717 . . . . . . . 8
54zcnd 10995 . . . . . . 7
65adantl 466 . . . . . 6
7 id 22 . . . . . 6
82, 2, 3, 6, 7fsumshftm 13596 . . . . 5
9 1m1e0 10629 . . . . . . 7
109oveq1i 6306 . . . . . 6
1110sumeq1i 13520 . . . . 5
128, 11syl6eq 2514 . . . 4
13 elfznn0 11800 . . . . . . . . 9
1413adantl 466 . . . . . . . 8
15 bcnp1n 12392 . . . . . . . 8
1614, 15syl 16 . . . . . . 7
1714nn0cnd 10879 . . . . . . . . 9
18 ax-1cn 9571 . . . . . . . . 9
19 addcom 9787 . . . . . . . . 9
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . . . 8
2120oveq1d 6311 . . . . . . 7
2216, 21eqtr3d 2500 . . . . . 6
2322sumeq2dv 13525 . . . . 5
24 1nn0 10836 . . . . . 6
25 nnm1nn0 10862 . . . . . 6
26 bcxmas 13647 . . . . . 6
2724, 25, 26sylancr 663 . . . . 5
2823, 27eqtr4d 2501 . . . 4
29 1cnd 9633 . . . . . . . 8
30 nncn 10569 . . . . . . . 8
3129, 29, 30ppncand 9994 . . . . . . 7
32 addcom 9787 . . . . . . . 8
3318, 30, 32sylancr 663 . . . . . . 7
3431, 33eqtrd 2498 . . . . . 6
3534oveq1d 6311 . . . . 5
36 nnnn0 10827 . . . . . 6
37 bcp1m1 12398 . . . . . 6
3836, 37syl 16 . . . . 5
3930, 29, 30adddird 9642 . . . . . . 7
40 sqval 12227 . . . . . . . . . 10
4140eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
42 mulid2 9615 . . . . . . . . 9
4341, 42oveq12d 6314 . . . . . . . 8
4430, 43syl 16 . . . . . . 7
4539, 44eqtrd 2498 . . . . . 6
4645oveq1d 6311 . . . . 5
4735, 38, 463eqtrd 2502 . . . 4
4812, 28, 473eqtrd 2502 . . 3
49 oveq2 6304 . . . . . . 7
50 fz10 11735 . . . . . . 7
5149, 50syl6eq 2514 . . . . . 6
5251sumeq1d 13523 . . . . 5
53 sum0 13543 . . . . 5
5452, 53syl6eq 2514 . . . 4
55 sq0i 12260 . . . . . . . 8
56 id 22 . . . . . . . 8
5755, 56oveq12d 6314 . . . . . . 7
58 00id 9776 . . . . . . 7
5957, 58syl6eq 2514 . . . . . 6
6059oveq1d 6311 . . . . 5
61 2cn 10631 . . . . . 6
62 2ne0 10653 . . . . . 6
6361, 62div0i 10303 . . . . 5
6460, 63syl6eq 2514 . . . 4
6554, 64eqtr4d 2501 . . 3
6648, 65jaoi 379 . 2
671, 66sylbi 195 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   c0 3784  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cfz 11701   cexp 12166   cbc 12380  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  arisum2  13672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator