Theorem arisum2 13672

Description: Arithmetic series sum of the first nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
arisum2

Distinct variable group:   ,N

Proof of Theorem arisum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 10822	. 2
2		nnm1nn0 10862	. . . . . 6
3		nn0uz 11144	. . . . . 6
4	2, 3	syl6eleq 2555	. . . . 5
5		elfznn0 11800	. . . . . . 7
6	5	adantl 466	. . . . . 6
7	6	nn0cnd 10879	. . . . 5
8		id 22	. . . . 5
9	4, 7, 8	fsum1p 13568	. . . 4
10		1e0p1 11032	. . . . . . . . 9
11	10	oveq1i 6306	. . . . . . . 8
12	11	sumeq1i 13520	. . . . . . 7
13	12	oveq2i 6307	. . . . . 6
14		fzfid 12083	. . . . . . . 8
15		elfznn 11743	. . . . . . . . . 10
16	15	adantl 466	. . . . . . . . 9
17	16	nncnd 10577	. . . . . . . 8
18	14, 17	fsumcl 13555	. . . . . . 7
19	18	addid2d 9802	. . . . . 6
20	13, 19	syl5eqr 2512	. . . . 5
21		arisum 13671	. . . . . . 7
22	2, 21	syl 16	. . . . . 6
23		nncn 10569	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	23	mulid1d 9634	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	24	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . 14
26	23	2timesd 10806	. . . . . . . . . . . . . 14
27	25, 26	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . 13
28	27	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12
29	23	sqcld 12308	. . . . . . . . . . . . 13
30	29, 23, 23	subsub4d 9985	. . . . . . . . . . . 12
31	28, 30	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . 11
32		sq1 12262	. . . . . . . . . . . 12
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
34	31, 33	oveq12d 6314	. . . . . . . . . 10
35		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . 11
36		binom2sub 12285	. . . . . . . . . . 11
37	23, 35, 36	sylancl 662	. . . . . . . . . 10
38	29, 23	subcld 9954	. . . . . . . . . . 11
39	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
40	38, 23, 39	subsubd 9982	. . . . . . . . . 10
41	34, 37, 40	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . 9
42	41	oveq1d 6311	. . . . . . . 8
43		subcl 9842	. . . . . . . . . 10
44	23, 35, 43	sylancl 662	. . . . . . . . 9
45	38, 44	npcand 9958	. . . . . . . 8
46	42, 45	eqtrd 2498	. . . . . . 7
47	46	oveq1d 6311	. . . . . 6
48	22, 47	eqtrd 2498	. . . . 5
49	20, 48	eqtrd 2498	. . . 4
50	9, 49	eqtrd 2498	. . 3
51		oveq1 6303	. . . . . . . 8
52	51	oveq2d 6312	. . . . . . 7
53		0re 9617	. . . . . . . . 9
54		ltm1 10407	. . . . . . . . 9
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . 8
56		0z 10900	. . . . . . . . 9
57		peano2zm 10932	. . . . . . . . . 10
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
59		fzn 11731	. . . . . . . . 9
60	56, 58, 59	mp2an 672	. . . . . . . 8
61	55, 60	mpbi 208	. . . . . . 7
62	52, 61	syl6eq 2514	. . . . . 6
63	62	sumeq1d 13523	. . . . 5
64		sum0 13543	. . . . 5
65	63, 64	syl6eq 2514	. . . 4
66		sq0i 12260	. . . . . . . 8
67		id 22	. . . . . . . 8
68	66, 67	oveq12d 6314	. . . . . . 7
69		0m0e0 10670	. . . . . . 7
70	68, 69	syl6eq 2514	. . . . . 6
71	70	oveq1d 6311	. . . . 5
72		2cn 10631	. . . . . 6
73		2ne0 10653	. . . . . 6
74	72, 73	div0i 10303	. . . . 5
75	71, 74	syl6eq 2514	. . . 4
76	65, 75	eqtr4d 2501	. . 3
77	50, 76	jaoi 379	. 2
78	1, 77	sylbi 195	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  c0 3784   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  cexp 12166  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  birthdaylem3  23283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-bc 12381  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509