MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem3 Unicode version

Theorem asinlem3 22007
Description: The argument to the logarithm in df-asin 22001 has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3

Proof of Theorem asinlem3
StepHypRef Expression
1 0red 9333 . 2
2 imcl 12541 . 2
3 ax-icn 9287 . . . . . . . . 9
4 negcl 9556 . . . . . . . . . 10
54adantr 455 . . . . . . . . 9
6 mulcl 9312 . . . . . . . . 9
73, 5, 6sylancr 648 . . . . . . . 8
8 ax-1cn 9286 . . . . . . . . . 10
95sqcld 11947 . . . . . . . . . 10
10 subcl 9555 . . . . . . . . . 10
118, 9, 10sylancr 648 . . . . . . . . 9
1211sqrcld 12864 . . . . . . . 8
137, 12addcld 9351 . . . . . . 7
14 asinlem 22004 . . . . . . . 8
155, 14syl 16 . . . . . . 7
1613, 15absrpcld 12875 . . . . . 6
17 2z 10623 . . . . . 6
18 rpexpcl 11825 . . . . . 6
1916, 17, 18sylancl 647 . . . . 5
2019rprecred 10983 . . . 4
2113cjcld 12626 . . . . 5
2221recld 12624 . . . 4
2319rpreccld 10982 . . . . 5
2423rpge0d 10976 . . . 4
25 imneg 12563 . . . . . . . 8
2625adantr 455 . . . . . . 7
272le0neg2d 9858 . . . . . . . 8
2827biimpa 474 . . . . . . 7
2926, 28eqbrtrd 4287 . . . . . 6
30 asinlem3a 22006 . . . . . 6
315, 29, 30syl2anc 646 . . . . 5
3213recjd 12634 . . . . 5
3331, 32breqtrrd 4293 . . . 4
3420, 22, 24, 33mulge0d 9862 . . 3
35 recval 12751 . . . . . . 7
3613, 15, 35syl2anc 646 . . . . . 6
37 asinlem2 22005 . . . . . . . . 9
3837adantr 455 . . . . . . . 8
3938eqcomd 2427 . . . . . . 7
408a1i 11 . . . . . . . 8
41 simpl 447 . . . . . . . . . 10
42 mulcl 9312 . . . . . . . . . 10
433, 41, 42sylancr 648 . . . . . . . . 9
44 sqcl 11869 . . . . . . . . . . . 12
4544adantr 455 . . . . . . . . . . 11
46 subcl 9555 . . . . . . . . . . 11
478, 45, 46sylancr 648 . . . . . . . . . 10
4847sqrcld 12864 . . . . . . . . 9
4943, 48addcld 9351 . . . . . . . 8
5040, 49, 13, 15divmul3d 10087 . . . . . . 7
5139, 50mpbird 226 . . . . . 6
5219rpcnd 10974 . . . . . . 7
5319rpne0d 10977 . . . . . . 7
5421, 52, 53divrec2d 10057 . . . . . 6
5536, 51, 543eqtr3d 2462 . . . . 5
5655fveq2d 5665 . . . 4
5720, 21remul2d 12657 . . . 4
5856, 57eqtrd 2454 . . 3
5934, 58breqtrrd 4293 . 2
60 asinlem3a 22006 . 2
611, 2, 59, 60lecasei 9426 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585   class class class wbr 4267  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226  0cc0 9228  1c1 9229   ci 9230   caddc 9231   cmul 9233   cle 9365   cmin 9541  -ucneg 9542   cdiv 9939  2c2 10317   cz 10591   crp 10936   cexp 11806   ccj 12526   cre 12527   cim 12528   csqr 12663   cabs 12664
This theorem is referenced by:  asinneg  22022  asinbnd  22035  dvasin  28151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-rp 10937  df-seq 11748  df-exp 11807  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666
  Copyright terms: Public domain W3C validator