MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atantayl3 Unicode version

Theorem atantayl3 22734
Description: The Taylor series for (A). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
atantayl3.1
Assertion
Ref Expression
atantayl3
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem atantayl3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atantayl3.1 . . . 4
2 2nn0 10734 . . . . . . . . . . . 12
3 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
4 nn0mulcl 10754 . . . . . . . . . . . 12
52, 3, 4sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
65nn0cnd 10776 . . . . . . . . . 10
7 ax-1cn 9477 . . . . . . . . . 10
8 pncan 9753 . . . . . . . . . 10
96, 7, 8sylancl 662 . . . . . . . . 9
109oveq1d 6237 . . . . . . . 8
11 nn0cn 10727 . . . . . . . . . 10
1211adantl 466 . . . . . . . . 9
13 2cnd 10532 . . . . . . . . 9
14 2ne0 10552 . . . . . . . . . 10
1514a1i 11 . . . . . . . . 9
1612, 13, 15divcan3d 10249 . . . . . . . 8
1710, 16eqtr2d 2496 . . . . . . 7
1817oveq2d 6238 . . . . . 6
1918oveq1d 6237 . . . . 5
2019mpteq2dva 4495 . . . 4
211, 20syl5eq 2507 . . 3
2221seqeq3d 11971 . 2
23 eqid 2454 . . . 4
2423atantayl2 22733 . . 3
25 neg1cn 10563 . . . . . . 7
26 expcl 12040 . . . . . . 7
2725, 3, 26sylancr 663 . . . . . 6
28 simpll 753 . . . . . . . 8
29 peano2nn0 10758 . . . . . . . . 9
305, 29syl 16 . . . . . . . 8
3128, 30expcld 12165 . . . . . . 7
32 nn0p1nn 10757 . . . . . . . . 9
335, 32syl 16 . . . . . . . 8
3433nncnd 10476 . . . . . . 7
3533nnne0d 10504 . . . . . . 7
3631, 34, 35divcld 10244 . . . . . 6
3727, 36mulcld 9543 . . . . 5
3819, 37eqeltrrd 2543 . . . 4
39 oveq1 6229 . . . . . . 7
4039oveq1d 6237 . . . . . 6
4140oveq2d 6238 . . . . 5
42 oveq2 6230 . . . . . 6
43 id 22 . . . . . 6
4442, 43oveq12d 6240 . . . . 5
4541, 44oveq12d 6240 . . . 4
4638, 45iserodd 14060 . . 3
4724, 46mpbird 232 . 2
4822, 47eqbrtrd 4429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  ifcif 3905   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cc 9417  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   clt 9555   cmin 9732  -ucneg 9733   cdiv 10130   cn 10460  2c2 10509   cn0 10717  seqcseq 11963   cexp 12022   cabs 12881   cli 13120   cdivides 13693   catan 22659
This theorem is referenced by:  log2cnv  22739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497  ax-addf 9498  ax-mulf 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-fi 7797  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-ioo 11443  df-ioc 11444  df-ico 11445  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-fl 11787  df-mod 11854  df-seq 11964  df-exp 12023  df-fac 12209  df-bc 12236  df-hash 12261  df-shft 12714  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-limsup 13107  df-clim 13124  df-rlim 13125  df-sum 13322  df-ef 13511  df-sin 13513  df-cos 13514  df-tan 13515  df-pi 13516  df-dvds 13694  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-hom 14421  df-cco 14422  df-rest 14520  df-topn 14521  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-topgen 14541  df-pt 14542  df-prds 14545  df-xrs 14599  df-qtop 14604  df-imas 14605  df-xps 14607  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-mulg 15707  df-cntz 15994  df-cmn 16440  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-fbas 18007  df-fg 18008  df-cnfld 18012  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-topsp 18906  df-cld 19022  df-ntr 19023  df-cls 19024  df-nei 19101  df-lp 19139  df-perf 19140  df-cn 19230  df-cnp 19231  df-haus 19318  df-cmp 19389  df-tx 19534  df-hmeo 19727  df-fil 19818  df-fm 19910  df-flim 19911  df-flf 19912  df-xms 20294  df-ms 20295  df-tms 20296  df-cncf 20853  df-limc 21741  df-dv 21742  df-ulm 22242  df-log 22408  df-atan 22662
  Copyright terms: Public domain W3C validator