MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atantayl3 Unicode version

Theorem atantayl3 22075
Description: The Taylor series for (A). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
atantayl3.1
Assertion
Ref Expression
atantayl3
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem atantayl3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atantayl3.1 . . . 4
2 2nn0 10542 . . . . . . . . . . . 12
3 simpr 451 . . . . . . . . . . . 12
4 nn0mulcl 10562 . . . . . . . . . . . 12
52, 3, 4sylancr 648 . . . . . . . . . . 11
65nn0cnd 10583 . . . . . . . . . 10
7 ax-1cn 9286 . . . . . . . . . 10
8 pncan 9562 . . . . . . . . . 10
96, 7, 8sylancl 647 . . . . . . . . 9
109oveq1d 6076 . . . . . . . 8
11 nn0cn 10535 . . . . . . . . . 10
1211adantl 456 . . . . . . . . 9
13 2cnd 10340 . . . . . . . . 9
14 2ne0 10360 . . . . . . . . . 10
1514a1i 11 . . . . . . . . 9
1612, 13, 15divcan3d 10058 . . . . . . . 8
1710, 16eqtr2d 2455 . . . . . . 7
1817oveq2d 6077 . . . . . 6
1918oveq1d 6076 . . . . 5
2019mpteq2dva 4353 . . . 4
211, 20syl5eq 2466 . . 3
2221seqeq3d 11755 . 2
23 eqid 2422 . . . 4
2423atantayl2 22074 . . 3
25 neg1cn 10371 . . . . . . 7
26 expcl 11824 . . . . . . 7
2725, 3, 26sylancr 648 . . . . . 6
28 simpll 738 . . . . . . . 8
29 peano2nn0 10566 . . . . . . . . 9
305, 29syl 16 . . . . . . . 8
3128, 30expcld 11949 . . . . . . 7
32 nn0p1nn 10565 . . . . . . . . 9
335, 32syl 16 . . . . . . . 8
3433nncnd 10284 . . . . . . 7
3533nnne0d 10312 . . . . . . 7
3631, 34, 35divcld 10053 . . . . . 6
3727, 36mulcld 9352 . . . . 5
3819, 37eqeltrrd 2497 . . . 4
39 oveq1 6068 . . . . . . 7
4039oveq1d 6076 . . . . . 6
4140oveq2d 6077 . . . . 5
42 oveq2 6069 . . . . . 6
43 id 21 . . . . . 6
4442, 43oveq12d 6079 . . . . 5
4541, 44oveq12d 6079 . . . 4
4638, 45iserodd 13842 . . 3
4724, 46mpbird 226 . 2
4822, 47eqbrtrd 4287 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  ifcif 3768   class class class wbr 4267  e.cmpt 4325  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cc 9226  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   clt 9364   cmin 9541  -ucneg 9542   cdiv 9939   cn 10268  2c2 10317   cn0 10525  seqcseq 11747   cexp 11806   cabs 12664   cli 12903   cdivides 13475   catan 22000
This theorem is referenced by:  log2cnv  22080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-ioo 11249  df-ioc 11250  df-ico 11251  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-fl 11583  df-mod 11650  df-seq 11748  df-exp 11807  df-fac 11993  df-bc 12020  df-hash 12045  df-shft 12497  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-limsup 12890  df-clim 12907  df-rlim 12908  df-sum 13105  df-ef 13293  df-sin 13295  df-cos 13296  df-tan 13297  df-pi 13298  df-dvds 13476  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-topgen 14322  df-pt 14323  df-prds 14326  df-xrs 14380  df-qtop 14385  df-imas 14386  df-xps 14388  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-submnd 15405  df-mulg 15485  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-fbas 17524  df-fg 17525  df-cnfld 17529  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-cld 18327  df-ntr 18328  df-cls 18329  df-nei 18406  df-lp 18444  df-perf 18445  df-cn 18535  df-cnp 18536  df-haus 18623  df-cmp 18694  df-tx 18839  df-hmeo 19032  df-fil 19123  df-fm 19215  df-flim 19216  df-flf 19217  df-xms 19595  df-ms 19596  df-tms 19597  df-cncf 20154  df-limc 21041  df-dv 21042  df-ulm 21583  df-log 21749  df-atan 22003
  Copyright terms: Public domain W3C validator