HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcvat4i Unicode version

Theorem atcvat4i 26270
Description: A condition implying existence of an atom with the properties shown. Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atcvat3.1
Assertion
Ref Expression
atcvat4i
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem atcvat4i
StepHypRef Expression
1 atcvat3.1 . . . . . . . . 9
21hatomici 26232 . . . . . . . 8
3 atelch 26217 . . . . . . . . . . . . . . 15
4 atelch 26217 . . . . . . . . . . . . . . 15
5 chub1 25379 . . . . . . . . . . . . . . 15
63, 4, 5syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14
7 sseq1 3491 . . . . . . . . . . . . . 14
86, 7syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13
98expd 436 . . . . . . . . . . . 12
109impcom 430 . . . . . . . . . . 11
1110anim2d 565 . . . . . . . . . 10
1211expcomd 438 . . . . . . . . 9
1312reximdvai 2934 . . . . . . . 8
142, 13syl5 32 . . . . . . 7
1514ex 434 . . . . . 6
1615a1i 11 . . . . 5
1716com4l 84 . . . 4
1817imp4a 589 . . 3
1918adantl 466 . 2
20 atelch 26217 . . . . . . . 8
21 chlejb2 25385 . . . . . . . . . . . . . . 15
221, 21mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . 14
2322biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13
2423sseq2d 3498 . . . . . . . . . . . 12
2524biimpa 484 . . . . . . . . . . 11
2625expl 618 . . . . . . . . . 10
2726adantl 466 . . . . . . . . 9
28 chub2 25380 . . . . . . . . 9
2927, 28jctird 544 . . . . . . . 8
3020, 3, 29syl2an 477 . . . . . . 7
31 simpl 457 . . . . . . 7
3230, 31jctild 543 . . . . . 6
3332impl 620 . . . . 5
34 sseq1 3491 . . . . . . 7
35 oveq2 6230 . . . . . . . 8
3635sseq2d 3498 . . . . . . 7
3734, 36anbi12d 710 . . . . . 6
3837rspcev 3182 . . . . 5
3933, 38syl 16 . . . 4
4039adantrl 715 . . 3
4140exp31 604 . 2
42 simpr 461 . . 3
43 ioran 490 . . . 4
441atcvat3i 26269 . . . . . . 7
453ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
4644imp 429 . . . . . . . . . . 11
47 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
4845, 46, 473jca 1168 . . . . . . . . . 10
49 inss2 3685 . . . . . . . . . . . . 13
50 chjcom 25378 . . . . . . . . . . . . . 14
5120, 3, 50syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
5249, 51syl5sseq 3518 . . . . . . . . . . . 12
5352adantr 465 . . . . . . . . . . 11
54 atnssm0 26249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
551, 54mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 inss1 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58 sslin 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 incom 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6159, 60sseqtri 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 sseq2 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6361, 62mpbii 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65 chjcl 25229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
66 chincl 25371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
671, 65, 66sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68 chincl 25371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6964, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7020, 3, 69syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
71 chle0 25315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7363, 72syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . 15
7456, 73sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14
7574imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
7675adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12
7776adantrr 716 . . . . . . . . . . 11
7853, 77jca 532 . . . . . . . . . 10
79 atexch 26254 . . . . . . . . . 10
8048, 78, 79sylc 60 . . . . . . . . 9
8180, 57jctil 537 . . . . . . . 8
8281ex 434 . . . . . . 7
8344, 82jcad 533 . . . . . 6
84 sseq1 3491 . . . . . . . 8
85 oveq2 6230 . . . . . . . . 9
8685sseq2d 3498 . . . . . . . 8
8784, 86anbi12d 710 . . . . . . 7
8887rspcev 3182 . . . . . 6
8983, 88syl6 33 . . . . 5
9089expd 436 . . . 4
9143, 90syl5bi 217 . . 3
9242, 91syl7 68 . 2
9319, 41, 92ecase3d 934 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  E.wrex 2801  i^icin 3441  C_wss 3442  (class class class)co 6222   cch 24800   chj 24804   c0h 24806   cat 24836
This theorem is referenced by:  mdsymlem3  26278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cc 8741  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497  ax-addf 9498  ax-mulf 9499  ax-hilex 24870  ax-hfvadd 24871  ax-hvcom 24872  ax-hvass 24873  ax-hv0cl 24874  ax-hvaddid 24875  ax-hfvmul 24876  ax-hvmulid 24877  ax-hvmulass 24878  ax-hvdistr1 24879  ax-hvdistr2 24880  ax-hvmul0 24881  ax-hfi 24950  ax-his1 24953  ax-his2 24954  ax-his3 24955  ax-his4 24956  ax-hcompl 25073
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-omul 7059  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-fi 7797  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-acn 8249  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-ioo 11443  df-ico 11445  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-fl 11787  df-seq 11964  df-exp 12023  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-clim 13124  df-rlim 13125  df-sum 13322  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-hom 14421  df-cco 14422  df-rest 14520  df-topn 14521  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-topgen 14541  df-pt 14542  df-prds 14545  df-xrs 14599  df-qtop 14604  df-imas 14605  df-xps 14607  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-mulg 15707  df-cntz 15994  df-cmn 16440  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-fbas 18007  df-fg 18008  df-cnfld 18012  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-topsp 18906  df-cld 19022  df-ntr 19023  df-cls 19024  df-nei 19101  df-cn 19230  df-cnp 19231  df-lm 19232  df-haus 19318  df-tx 19534  df-hmeo 19727  df-fil 19818  df-fm 19910  df-flim 19911  df-flf 19912  df-xms 20294  df-ms 20295  df-tms 20296  df-cfil 21165  df-cau 21166  df-cmet 21167  df-grpo 24147  df-gid 24148  df-ginv 24149  df-gdiv 24150  df-ablo 24238  df-subgo 24258  df-vc 24393  df-nv 24439  df-va 24442  df-ba 24443  df-sm 24444  df-0v 24445  df-vs 24446  df-nmcv 24447  df-ims 24448  df-dip 24565  df-ssp 24589  df-ph 24682  df-cbn 24733  df-hnorm 24839  df-hba 24840  df-hvsub 24842  df-hlim 24843  df-hcau 24844  df-sh 25078  df-ch 25093  df-oc 25124  df-ch0 25125  df-shs 25180  df-span 25181  df-chj 25182  df-chsup 25183  df-pjh 25267  df-cv 26152  df-at 26211
  Copyright terms: Public domain W3C validator