Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax12eq Unicode version

Theorem ax12eq 2271
 Description: Basis step for constructing a substitution instance of ax-c15 2220 without using ax-c15 2220. Atomic formula for equality predicate. (Contributed by NM, 22-Jan-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax12eq

Proof of Theorem ax12eq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.26 1680 . . 3
2 equid 1791 . . . . . . . 8
32a1i 11 . . . . . . 7
43ax-gen 1618 . . . . . 6
54a1i 11 . . . . 5
6 equequ1 1798 . . . . . . . . 9
7 equequ2 1799 . . . . . . . . 9
86, 7sylan9bb 699 . . . . . . . 8
98sps-o 2238 . . . . . . 7
10 nfa1-o 2245 . . . . . . . 8
119imbi2d 316 . . . . . . . 8
1210, 11albid 1885 . . . . . . 7
139, 12imbi12d 320 . . . . . 6
1413adantr 465 . . . . 5
155, 14mpbii 211 . . . 4
1615exp32 605 . . 3
171, 16sylbir 213 . 2
18 equequ1 1798 . . . . . . 7
1918ad2antll 728 . . . . . 6
20 axc9 2046 . . . . . . . . 9
2120impcom 430 . . . . . . . 8
2221adantrr 716 . . . . . . 7
23 equtrr 1797 . . . . . . . 8
2423alimi 1633 . . . . . . 7
2522, 24syl6 33 . . . . . 6
2619, 25sylbid 215 . . . . 5
2726adantll 713 . . . 4
28 equequ1 1798 . . . . . . 7
2928sps-o 2238 . . . . . 6
3029imbi2d 316 . . . . . . 7
3130dral2-o 2260 . . . . . 6
3229, 31imbi12d 320 . . . . 5
3332ad2antrr 725 . . . 4
3427, 33mpbid 210 . . 3
3534exp32 605 . 2
36 equequ2 1799 . . . . . . 7
3736ad2antll 728 . . . . . 6
38 axc9 2046 . . . . . . . . 9
3938imp 429 . . . . . . . 8
4039adantrr 716 . . . . . . 7
4136biimprcd 225 . . . . . . . 8
4241alimi 1633 . . . . . . 7
4340, 42syl6 33 . . . . . 6
4437, 43sylbid 215 . . . . 5
4544adantlr 714 . . . 4
467sps-o 2238 . . . . . 6
4746imbi2d 316 . . . . . . 7
4847dral2-o 2260 . . . . . 6
4946, 48imbi12d 320 . . . . 5
5049ad2antlr 726 . . . 4
5145, 50mpbid 210 . . 3
5251exp32 605 . 2
53 ax6ev 1749 . . . . 5
54 ax6ev 1749 . . . . . . 7
55 ax-1 6 . . . . . . . . . . 11
5655alrimiv 1719 . . . . . . . . . 10
57 equequ1 1798 . . . . . . . . . . . . 13
58 equequ2 1799 . . . . . . . . . . . . 13
5957, 58sylan9bb 699 . . . . . . . . . . . 12
6059adantl 466 . . . . . . . . . . 11
61 dveeq2-o 2263 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 dveeq2-o 2263 . . . . . . . . . . . . . . 15
6361, 62im2anan9 835 . . . . . . . . . . . . . 14
6463imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
65 19.26 1680 . . . . . . . . . . . . 13
6664, 65sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
67 nfa1-o 2245 . . . . . . . . . . . . 13
6859sps-o 2238 . . . . . . . . . . . . . 14
6968imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . 13
7067, 69albid 1885 . . . . . . . . . . . 12
7166, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11
7260, 71imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
7356, 72mpbii 211 . . . . . . . . 9
7473exp32 605 . . . . . . . 8
7574exlimdv 1724 . . . . . . 7
7654, 75mpi 17 . . . . . 6
7776exlimdv 1724 . . . . 5
7853, 77mpi 17 . . . 4
7978a1d 25 . . 3
8079a1d 25 . 2
8117, 35, 52, 804cases 949 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  E.wex 1612 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-c5 2214  ax-c4 2215  ax-c7 2216  ax-c11 2218  ax-c9 2221 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1613  df-nf 1617
 Copyright terms: Public domain W3C validator