MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax1rid Unicode version

Theorem ax1rid 9559
Description: is an identity element for real multiplication. Axiom 14 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Weakened from the original axiom in the form of statement in mulid1 9614, based on ideas by Eric Schmidt. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 9583. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1rid

Proof of Theorem ax1rid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 9523 . 2
2 oveq1 6303 . . 3
3 id 22 . . 3
42, 3eqeq12d 2479 . 2
5 elsni 4054 . . 3
6 df-1 9521 . . . . . . 7
76oveq2i 6307 . . . . . 6
8 1sr 9479 . . . . . . . 8
9 mulresr 9537 . . . . . . . 8
108, 9mpan2 671 . . . . . . 7
11 1idsr 9496 . . . . . . . 8
1211opeq1d 4223 . . . . . . 7
1310, 12eqtrd 2498 . . . . . 6
147, 13syl5eq 2510 . . . . 5
15 opeq2 4218 . . . . . . 7
1615oveq1d 6311 . . . . . 6
1716, 15eqeq12d 2479 . . . . 5
1814, 17syl5ibr 221 . . . 4
1918impcom 430 . . 3
205, 19sylan2 474 . 2
211, 4, 20optocl 5081 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  {csn 4029  <.cop 4035  (class class class)co 6296   cnr 9264   c0r 9265   c1r 9266   cmr 9269   cr 9512  1c1 9514   cmul 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-1p 9381  df-plp 9382  df-mp 9383  df-ltp 9384  df-enr 9454  df-nr 9455  df-plr 9456  df-mr 9457  df-0r 9459  df-1r 9460  df-m1r 9461  df-c 9519  df-1 9521  df-r 9523  df-mul 9525
  Copyright terms: Public domain W3C validator