Theorem axacnd 9011

Description: A version of the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
axacnd

Proof of Theorem axacnd

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacndlem5 9010	. . . 4
2		nfnae 2058	. . . . . 6
3		nfnae 2058	. . . . . 6
4		nfnae 2058	. . . . . 6
5	2, 3, 4	nf3an 1930	. . . . 5
6		nfnae 2058	. . . . . . 7
7		nfnae 2058	. . . . . . 7
8		nfnae 2058	. . . . . . 7
9	6, 7, 8	nf3an 1930	. . . . . 6
10		nfnae 2058	. . . . . . . 8
11		nfnae 2058	. . . . . . . 8
12		nfnae 2058	. . . . . . . 8
13	10, 11, 12	nf3an 1930	. . . . . . 7
14		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . . 12
15	14	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11
16		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . 11
17	15, 16	nfeld 2627	. . . . . . . . . 10
18		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . . 12
19	18	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . 11
20	16, 19	nfeld 2627	. . . . . . . . . 10
21	17, 20	nfand 1925	. . . . . . . . 9
22	5, 21	nfald 1951	. . . . . . . 8
23		nfnae 2058	. . . . . . . . . 10
24		nfnae 2058	. . . . . . . . . 10
25		nfnae 2058	. . . . . . . . . 10
26	23, 24, 25	nf3an 1930	. . . . . . . . 9
27	15, 19	nfeld 2627	. . . . . . . . . . . . . 14
28		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29	28	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	19, 29	nfeld 2627	. . . . . . . . . . . . . 14
31	27, 30	nfand 1925	. . . . . . . . . . . . 13
32	21, 31	nfand 1925	. . . . . . . . . . . 12
33	26, 32	nfexd 1952	. . . . . . . . . . 11
34	15, 19	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . 11
35	33, 34	nfbid 1933	. . . . . . . . . 10
36	9, 35	nfald 1951	. . . . . . . . 9
37	26, 36	nfexd 1952	. . . . . . . 8
38	22, 37	nfimd 1917	. . . . . . 7
39		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . 12
40		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . 13
41	40	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . 12
42	39, 41	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . 11
43	5, 42	nfan1 1927	. . . . . . . . . 10
44		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
45	44	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . 11
46	44	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11
47	45, 46	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10
48	43, 47	albid 1885	. . . . . . . . 9
49		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . 12
50		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . 13
51	50	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . 12
52	49, 51	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . 11
53	26, 52	nfan1 1927	. . . . . . . . . 10
54		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . . 13
55		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . . 14
56	55	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . 13
57	54, 56	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . . 12
58	9, 57	nfan1 1927	. . . . . . . . . . 11
59	47	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . 13
60	53, 59	exbid 1886	. . . . . . . . . . . 12
61	60	bibi1d 319	. . . . . . . . . . 11
62	58, 61	albid 1885	. . . . . . . . . 10
63	53, 62	exbid 1886	. . . . . . . . 9
64	48, 63	imbi12d 320	. . . . . . . 8
65	64	ex 434	. . . . . . 7
66	13, 38, 65	cbvald 2025	. . . . . 6
67	9, 66	albid 1885	. . . . 5
68	5, 67	exbid 1886	. . . 4
69	1, 68	mpbii 211	. . 3
70	69	3exp 1195	. 2
71		axacndlem2 9007	. . 3
72	71	aecoms 2052	. 2
73		axacndlem3 9008	. . 3
74	73	aecoms 2052	. 2
75		nfae 2056	. . . 4
76		simpr 461	. . . . . . 7
77	76	alimi 1633	. . . . . 6
78		nd3 8985	. . . . . . 7
79	78	pm2.21d 106	. . . . . 6
80	77, 79	syl5 32	. . . . 5
81	80	axc4i 1898	. . . 4
82	75, 81	alrimi 1877	. . 3
83		19.8a 1857	. . 3
84	82, 83	syl 16	. 2
85	70, 72, 74, 84	pm2.61iii 167	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  E.wex 1612  F/_wnfc 2605

This theorem is referenced by:  zfcndac  9018  axacprim  29079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-reg 8039  ax-ac 8860

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-eprel 4796  df-fr 4843