Theorem axacndlem4 9009

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
axacndlem4

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem axacndlem4

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfac 8861	. . . 4
2		nfnae 2058	. . . . . 6
3		nfnae 2058	. . . . . 6
4		nfnae 2058	. . . . . 6
5	2, 3, 4	nf3an 1930	. . . . 5
6		nfnae 2058	. . . . . . 7
7		nfnae 2058	. . . . . . 7
8		nfnae 2058	. . . . . . 7
9	6, 7, 8	nf3an 1930	. . . . . 6
10		nfnae 2058	. . . . . . . 8
11		nfnae 2058	. . . . . . . 8
12		nfnae 2058	. . . . . . . 8
13	10, 11, 12	nf3an 1930	. . . . . . 7
14		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . 11
15	14	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . 10
16		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . 11
17	16	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10
18	15, 17	nfeld 2627	. . . . . . . . 9
19		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . 11
20	19	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . 10
21	17, 20	nfeld 2627	. . . . . . . . 9
22	18, 21	nfand 1925	. . . . . . . 8
23		nfnae 2058	. . . . . . . . . 10
24		nfnae 2058	. . . . . . . . . 10
25		nfnae 2058	. . . . . . . . . 10
26	23, 24, 25	nf3an 1930	. . . . . . . . 9
27	15, 20	nfeld 2627	. . . . . . . . . . . . . 14
28		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	20, 28	nfeld 2627	. . . . . . . . . . . . . 14
30	27, 29	nfand 1925	. . . . . . . . . . . . 13
31	22, 30	nfand 1925	. . . . . . . . . . . 12
32	26, 31	nfexd 1952	. . . . . . . . . . 11
33	15, 20	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . 11
34	32, 33	nfbid 1933	. . . . . . . . . 10
35	9, 34	nfald 1951	. . . . . . . . 9
36	26, 35	nfexd 1952	. . . . . . . 8
37	22, 36	nfimd 1917	. . . . . . 7
38	13, 37	nfald 1951	. . . . . 6
39	9, 38	nfald 1951	. . . . 5
40		nfcvd 2620	. . . . . . . . 9
41		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . 10
42	41	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . 9
43	40, 42	nfeqd 2626	. . . . . . . 8
44	9, 43	nfan1 1927	. . . . . . 7
45		nfcvd 2620	. . . . . . . . . 10
46		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . 11
47	46	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10
48	45, 47	nfeqd 2626	. . . . . . . . 9
49	13, 48	nfan1 1927	. . . . . . . 8
50	22	nfrd 1875	. . . . . . . . . . 11
51	50	adantr 465	. . . . . . . . . 10
52		sp 1859	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	impbid1 203	. . . . . . . . 9
54		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . 12
55		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . 13
56	55	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . 12
57	54, 56	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . 11
58	26, 57	nfan1 1927	. . . . . . . . . 10
59		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16
60	59	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . 15
61	60	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . 14
62	61	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . 13
63	58, 62	exbid 1886	. . . . . . . . . . . 12
64	63	bibi1d 319	. . . . . . . . . . 11
65	44, 64	albid 1885	. . . . . . . . . 10
66	58, 65	exbid 1886	. . . . . . . . 9
67	53, 66	imbi12d 320	. . . . . . . 8
68	49, 67	albid 1885	. . . . . . 7
69	44, 68	albid 1885	. . . . . 6
70	69	ex 434	. . . . 5
71	5, 39, 70	cbvexd 2026	. . . 4
72	1, 71	mpbii 211	. . 3
73	72	3exp 1195	. 2
74		axacndlem2 9007	. 2
75		axacndlem1 9006	. 2
76		nfae 2056	. . . 4
77		nfae 2056	. . . . 5
78		simpr 461	. . . . . . 7
79	78	alimi 1633	. . . . . 6
80		nd2 8984	. . . . . . 7
81	80	pm2.21d 106	. . . . . 6
82	79, 81	syl5 32	. . . . 5
83	77, 82	alrimi 1877	. . . 4
84	76, 83	alrimi 1877	. . 3
85		19.8a 1857	. . 3
86	84, 85	syl 16	. 2
87	73, 74, 75, 86	pm2.61iii 167	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  E.wex 1612  F/_wnfc 2605

This theorem is referenced by:  axacndlem5  9010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-reg 8039  ax-ac 8860

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-nul 3785  df-sn 4030  df-pr 4032