Theorem axacndlem5 9010

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
axacndlem5

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem axacndlem5

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacndlem4 9009	. . . 4
2		nfnae 2058	. . . . . 6
3		nfnae 2058	. . . . . 6
4		nfnae 2058	. . . . . 6
5	2, 3, 4	nf3an 1930	. . . . 5
6		nfnae 2058	. . . . . . 7
7		nfnae 2058	. . . . . . 7
8		nfnae 2058	. . . . . . 7
9	6, 7, 8	nf3an 1930	. . . . . 6
10		nfnae 2058	. . . . . . . 8
11		nfnae 2058	. . . . . . . 8
12		nfnae 2058	. . . . . . . 8
13	10, 11, 12	nf3an 1930	. . . . . . 7
14		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . 11
15		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . . 12
16	15	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . 11
17	14, 16	nfeld 2627	. . . . . . . . . 10
18		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . . 12
19	18	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . 11
20	16, 19	nfeld 2627	. . . . . . . . . 10
21	17, 20	nfand 1925	. . . . . . . . 9
22	5, 21	nfald 1951	. . . . . . . 8
23		nfnae 2058	. . . . . . . . . 10
24		nfnae 2058	. . . . . . . . . 10
25		nfnae 2058	. . . . . . . . . 10
26	23, 24, 25	nf3an 1930	. . . . . . . . 9
27		nfv 1707	. . . . . . . . . 10
28	14, 19	nfeld 2627	. . . . . . . . . . . . . 14
29		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30	29	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	19, 30	nfeld 2627	. . . . . . . . . . . . . 14
32	28, 31	nfand 1925	. . . . . . . . . . . . 13
33	21, 32	nfand 1925	. . . . . . . . . . . 12
34	26, 33	nfexd 1952	. . . . . . . . . . 11
35	14, 19	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . 11
36	34, 35	nfbid 1933	. . . . . . . . . 10
37	27, 36	nfald 1951	. . . . . . . . 9
38	26, 37	nfexd 1952	. . . . . . . 8
39	22, 38	nfimd 1917	. . . . . . 7
40	13, 39	nfald 1951	. . . . . 6
41		nfcvd 2620	. . . . . . . . . 10
42		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . 11
43	42	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10
44	41, 43	nfeqd 2626	. . . . . . . . 9
45	13, 44	nfan1 1927	. . . . . . . 8
46		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . 12
47		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . 12
49	46, 48	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . 11
50	5, 49	nfan1 1927	. . . . . . . . . 10
51		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
52	51	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11
53	52	anbi1d 704	. . . . . . . . . 10
54	50, 53	albid 1885	. . . . . . . . 9
55		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57	56	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	55, 57	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	26, 58	nfan1 1927	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	51	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61	60	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62	53, 61	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15
63	59, 62	exbid 1886	. . . . . . . . . . . . . 14
64	51	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . 14
65	63, 64	bibi12d 321	. . . . . . . . . . . . 13
66	65	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
67	9, 36, 66	cbvald 2025	. . . . . . . . . . 11
68	26, 67	exbid 1886	. . . . . . . . . 10
69	68	adantr 465	. . . . . . . . 9
70	54, 69	imbi12d 320	. . . . . . . 8
71	45, 70	albid 1885	. . . . . . 7
72	71	ex 434	. . . . . 6
73	9, 40, 72	cbvald 2025	. . . . 5
74	5, 73	exbid 1886	. . . 4
75	1, 74	mpbii 211	. . 3
76	75	3exp 1195	. 2
77		axacndlem3 9008	. 2
78		axacndlem1 9006	. . 3
79	78	aecoms 2052	. 2
80		nfae 2056	. . . . 5
81		en2lp 8051	. . . . . . . . 9
82		elequ2 1823	. . . . . . . . . 10
83	82	anbi2d 703	. . . . . . . . 9
84	81, 83	mtbii 302	. . . . . . . 8
85	84	sps 1865	. . . . . . 7
86	85	pm2.21d 106	. . . . . 6
87	86	spsd 1867	. . . . 5
88	80, 87	alrimi 1877	. . . 4
89	88	axc4i 1898	. . 3
90		19.8a 1857	. . 3
91	89, 90	syl 16	. 2
92	76, 77, 79, 91	pm2.61iii 167	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  E.wex 1612  F/_wnfc 2605

This theorem is referenced by:  axacnd  9011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-reg 8039  ax-ac 8860

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-eprel 4796  df-fr 4843