Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axaddf Unicode version

 Description: Addition is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axaddcl 9549. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-addf 9592. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 moeq 3275 . . . . . . . . 9
21mosubop 4751 . . . . . . . 8
32mosubop 4751 . . . . . . 7
4 anass 649 . . . . . . . . . . 11
542exbii 1668 . . . . . . . . . 10
6 19.42vv 1777 . . . . . . . . . 10
75, 6bitri 249 . . . . . . . . 9
872exbii 1668 . . . . . . . 8
98mobii 2307 . . . . . . 7
103, 9mpbir 209 . . . . . 6
1110moani 2346 . . . . 5
1211funoprab 6402 . . . 4
13 df-add 9524 . . . . 5
1413funeqi 5613 . . . 4
1512, 14mpbir 209 . . 3
1613dmeqi 5209 . . . . 5
17 dmoprabss 6384 . . . . 5
1816, 17eqsstri 3533 . . . 4
19 0ncn 9531 . . . . 5
20 df-c 9519 . . . . . . 7
21 oveq1 6303 . . . . . . . 8
2221eleq1d 2526 . . . . . . 7
23 oveq2 6304 . . . . . . . 8
2423eleq1d 2526 . . . . . . 7
25 addcnsr 9533 . . . . . . . 8
26 addclsr 9481 . . . . . . . . . . 11
27 addclsr 9481 . . . . . . . . . . 11
2826, 27anim12i 566 . . . . . . . . . 10
2928an4s 826 . . . . . . . . 9
30 opelxpi 5036 . . . . . . . . 9
3129, 30syl 16 . . . . . . . 8
3225, 31eqeltrd 2545 . . . . . . 7
3320, 22, 24, 322optocl 5082 . . . . . 6
3433, 20syl6eleqr 2556 . . . . 5
3519, 34oprssdm 6456 . . . 4
3618, 35eqssi 3519 . . 3
37 df-fn 5596 . . 3
3815, 36, 37mpbir2an 920 . 2
3934rgen2a 2884 . 2
40 ffnov 6406 . 2
4138, 39, 40mpbir2an 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E*wmo 2283  A.wral 2807  <.cop 4035  X.cxp 5002  domcdm 5004  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  (class class class)co 6296  {coprab 6297   cnr 9264   cplr 9268   cc 9511   caddc 9516 This theorem is referenced by:  axaddcl  9549 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-plp 9382  df-ltp 9384  df-enr 9454  df-nr 9455  df-plr 9456  df-c 9519  df-add 9524
 Copyright terms: Public domain W3C validator