Theorem axcc2lem 8837

Description: Lemma for axcc2 8838. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc2lem.1
axcc2lem.2
axcc2lem.3

Assertion

Ref	Expression
axcc2lem

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,

Proof of Theorem axcc2lem

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 8081	. . . . 5
2		snex 4693	. . . . . . . 8
3		fvex 5881	. . . . . . . 8
4	2, 3	xpex 6604	. . . . . . 7
5	4	a1i 11	. . . . . 6
6		axcc2lem.2	. . . . . 6
7	5, 6	fmptd 6055	. . . . 5
8	1, 7	ax-mp 5	. . . 4
9		sneq 4039	. . . . . . . . . 10
10		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
11	9, 10	xpeq12d 5029	. . . . . . . . 9
12	11, 6, 4	fvmpt3i 5960	. . . . . . . 8
13	12	adantl 466	. . . . . . 7
14	13	eqeq2d 2471	. . . . . 6
15	6	fvmpt2 5963	. . . . . . . . . 10
16	4, 15	mpan2 671	. . . . . . . . 9
17	16	adantr 465	. . . . . . . 8
18	17	eqeq1d 2459	. . . . . . 7
19		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
20	19	snnz 4148	. . . . . . . . . 10
21		0ex 4582	. . . . . . . . . . . . . 14
22	21	snnz 4148	. . . . . . . . . . . . 13
23		iftrue 3947	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	neeq1d 2734	. . . . . . . . . . . . 13
25	22, 24	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . 12
26		iffalse 3950	. . . . . . . . . . . . 13
27		df-ne 2654	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . 13
29	26, 28	eqnetrd 2750	. . . . . . . . . . . 12
30	25, 29	pm2.61i 164	. . . . . . . . . . 11
31		p0ex 4639	. . . . . . . . . . . . . 14
32		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . 14
33	31, 32	ifex 4010	. . . . . . . . . . . . 13
34		axcc2lem.1	. . . . . . . . . . . . . 14
35	34	fvmpt2 5963	. . . . . . . . . . . . 13
36	33, 35	mpan2 671	. . . . . . . . . . . 12
37	36	neeq1d 2734	. . . . . . . . . . 11
38	30, 37	mpbiri 233	. . . . . . . . . 10
39		xp11 5447	. . . . . . . . . 10
40	20, 38, 39	sylancr 663	. . . . . . . . 9
41	19	sneqr 4197	. . . . . . . . . 10
42	41	adantr 465	. . . . . . . . 9
43	40, 42	syl6bi 228	. . . . . . . 8
44	43	adantr 465	. . . . . . 7
45	18, 44	sylbid 215	. . . . . 6
46	14, 45	sylbid 215	. . . . 5
47	46	rgen2a 2884	. . . 4
48		dff13 6166	. . . 4
49	8, 47, 48	mpbir2an 920	. . 3
50		f1f1orn 5832	. . . 4
51	1	f1oen 7556	. . . 4
52		ensym 7584	. . . 4
53	50, 51, 52	3syl 20	. . 3
54	6	rneqi 5234	. . . . 5
55		dmmptg 5509	. . . . . . . 8
56	4	a1i 11	. . . . . . . 8
57	55, 56	mprg 2820	. . . . . . 7
58	57, 1	eqeltri 2541	. . . . . 6
59		funmpt 5629	. . . . . 6
60		funrnex 6767	. . . . . 6
61	58, 59, 60	mp2 9	. . . . 5
62	54, 61	eqeltri 2541	. . . 4
63		breq1 4455	. . . . 5
64		raleq 3054	. . . . . 6
65	64	exbidv 1714	. . . . 5
66	63, 65	imbi12d 320	. . . 4
67		ax-cc 8836	. . . 4
68	62, 66, 67	vtocl 3161	. . 3
69	49, 53, 68	mp2b 10	. 2
70		fvex 5881	. . . . 5
71		axcc2lem.3	. . . . 5
72	70, 71	fnmpti 5714	. . . 4
73		xpnz 5431	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	73	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . 15
75	20, 38, 74	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14
76	16, 75	eqnetrd 2750	. . . . . . . . . . . . 13
77	4, 6	fnmpti 5714	. . . . . . . . . . . . . . 15
78		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	77, 78	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . 14
80		neeq1 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16
81		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
82		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
83	81, 82	eleq12d 2539	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84	80, 83	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15
85	84	rspccv 3207	. . . . . . . . . . . . . 14
86	79, 85	syl5 32	. . . . . . . . . . . . 13
87	76, 86	mpdi 42	. . . . . . . . . . . 12
88	87	impcom 430	. . . . . . . . . . 11
89	16	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . 12
90	89	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
91	88, 90	mpbid 210	. . . . . . . . . 10
92		xp2nd 6831	. . . . . . . . . 10
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . 9
94	93	3adant3 1016	. . . . . . . 8
95	71	fvmpt2 5963	. . . . . . . . . . 11
96	70, 95	mpan2 671	. . . . . . . . . 10
97	96	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9
98	97	eqcomd 2465	. . . . . . . 8
99	36	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9
100		ifnefalse 3953	. . . . . . . . . 10
101	100	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . 9
102	99, 101	eqtrd 2498	. . . . . . . 8
103	94, 98, 102	3eltr3d 2559	. . . . . . 7
104	103	3expia 1198	. . . . . 6
105	104	expcom 435	. . . . 5
106	105	ralrimiv 2869	. . . 4
107		fnex 6139	. . . . . 6
108	72, 1, 107	mp2an 672	. . . . 5
109		fneq1 5674	. . . . . 6
110		fveq1 5870	. . . . . . . . 9
111	110	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
112	111	imbi2d 316	. . . . . . 7
113	112	ralbidv 2896	. . . . . 6
114	109, 113	anbi12d 710	. . . . 5
115	108, 114	spcev 3201	. . . 4
116	72, 106, 115	sylancr 663	. . 3
117	116	exlimiv 1722	. 2
118	69, 117	ax-mp 5	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  cvv 3109  c0 3784  ifcif 3941  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  com 6700  c2nd 6799  cen 7533

This theorem is referenced by:  axcc2  8838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cc 8836

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537