MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc2lem Unicode version

Theorem axcc2lem 8837
Description: Lemma for axcc2 8838. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc2lem.1
axcc2lem.2
axcc2lem.3
Assertion
Ref Expression
axcc2lem
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   ,

Proof of Theorem axcc2lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8081 . . . . 5
2 snex 4693 . . . . . . . 8
3 fvex 5881 . . . . . . . 8
42, 3xpex 6604 . . . . . . 7
54a1i 11 . . . . . 6
6 axcc2lem.2 . . . . . 6
75, 6fmptd 6055 . . . . 5
81, 7ax-mp 5 . . . 4
9 sneq 4039 . . . . . . . . . 10
10 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
119, 10xpeq12d 5029 . . . . . . . . 9
1211, 6, 4fvmpt3i 5960 . . . . . . . 8
1312adantl 466 . . . . . . 7
1413eqeq2d 2471 . . . . . 6
156fvmpt2 5963 . . . . . . . . . 10
164, 15mpan2 671 . . . . . . . . 9
1716adantr 465 . . . . . . . 8
1817eqeq1d 2459 . . . . . . 7
19 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
2019snnz 4148 . . . . . . . . . 10
21 0ex 4582 . . . . . . . . . . . . . 14
2221snnz 4148 . . . . . . . . . . . . 13
23 iftrue 3947 . . . . . . . . . . . . . 14
2423neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . 13
2522, 24mpbiri 233 . . . . . . . . . . . 12
26 iffalse 3950 . . . . . . . . . . . . 13
27 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . 14
2827biimpri 206 . . . . . . . . . . . . 13
2926, 28eqnetrd 2750 . . . . . . . . . . . 12
3025, 29pm2.61i 164 . . . . . . . . . . 11
31 p0ex 4639 . . . . . . . . . . . . . 14
32 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
3331, 32ifex 4010 . . . . . . . . . . . . 13
34 axcc2lem.1 . . . . . . . . . . . . . 14
3534fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . 13
3633, 35mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12
3736neeq1d 2734 . . . . . . . . . . 11
3830, 37mpbiri 233 . . . . . . . . . 10
39 xp11 5447 . . . . . . . . . 10
4020, 38, 39sylancr 663 . . . . . . . . 9
4119sneqr 4197 . . . . . . . . . 10
4241adantr 465 . . . . . . . . 9
4340, 42syl6bi 228 . . . . . . . 8
4443adantr 465 . . . . . . 7
4518, 44sylbid 215 . . . . . 6
4614, 45sylbid 215 . . . . 5
4746rgen2a 2884 . . . 4
48 dff13 6166 . . . 4
498, 47, 48mpbir2an 920 . . 3
50 f1f1orn 5832 . . . 4
511f1oen 7556 . . . 4
52 ensym 7584 . . . 4
5350, 51, 523syl 20 . . 3
546rneqi 5234 . . . . 5
55 dmmptg 5509 . . . . . . . 8
564a1i 11 . . . . . . . 8
5755, 56mprg 2820 . . . . . . 7
5857, 1eqeltri 2541 . . . . . 6
59 funmpt 5629 . . . . . 6
60 funrnex 6767 . . . . . 6
6158, 59, 60mp2 9 . . . . 5
6254, 61eqeltri 2541 . . . 4
63 breq1 4455 . . . . 5
64 raleq 3054 . . . . . 6
6564exbidv 1714 . . . . 5
6663, 65imbi12d 320 . . . 4
67 ax-cc 8836 . . . 4
6862, 66, 67vtocl 3161 . . 3
6949, 53, 68mp2b 10 . 2
70 fvex 5881 . . . . 5
71 axcc2lem.3 . . . . 5
7270, 71fnmpti 5714 . . . 4
73 xpnz 5431 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15
7520, 38, 74sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14
7616, 75eqnetrd 2750 . . . . . . . . . . . . 13
774, 6fnmpti 5714 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15
7977, 78mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14
80 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16
81 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
82 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8381, 82eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8480, 83imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584rspccv 3207 . . . . . . . . . . . . . 14
8679, 85syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13
8776, 86mpdi 42 . . . . . . . . . . . 12
8887impcom 430 . . . . . . . . . . 11
8916eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
9089adantr 465 . . . . . . . . . . 11
9188, 90mpbid 210 . . . . . . . . . 10
92 xp2nd 6831 . . . . . . . . . 10
9391, 92syl 16 . . . . . . . . 9
94933adant3 1016 . . . . . . . 8
9571fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . 11
9670, 95mpan2 671 . . . . . . . . . 10
97963ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
9897eqcomd 2465 . . . . . . . 8
99363ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
100 ifnefalse 3953 . . . . . . . . . 10
1011003ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9
10299, 101eqtrd 2498 . . . . . . . 8
10394, 98, 1023eltr3d 2559 . . . . . . 7
1041033expia 1198 . . . . . 6
105104expcom 435 . . . . 5
106105ralrimiv 2869 . . . 4
107 fnex 6139 . . . . . 6
10872, 1, 107mp2an 672 . . . . 5
109 fneq1 5674 . . . . . 6
110 fveq1 5870 . . . . . . . . 9
111110eleq1d 2526 . . . . . . . 8
112111imbi2d 316 . . . . . . 7
113112ralbidv 2896 . . . . . 6
114109, 113anbi12d 710 . . . . 5
115108, 114spcev 3201 . . . 4
11672, 106, 115sylancr 663 . . 3
117116exlimiv 1722 . 2
11869, 117ax-mp 5 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109   c0 3784  ifcif 3941  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   com 6700   c2nd 6799   cen 7533
This theorem is referenced by:  axcc2  8838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cc 8836
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator