MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc3 Unicode version

Theorem axcc3 8839
Description: A possibly more useful version of ax-cc 8836 using sequences ( ) instead of countable sets. The Axiom of Infinity is needed to prove this, and indeed this implies the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc3.1
axcc3.2
Assertion
Ref Expression
axcc3
Distinct variable groups:   ,   ,N,

Proof of Theorem axcc3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcc3.2 . . 3
2 relen 7541 . . . 4
32brrelexi 5045 . . 3
4 mptexg 6142 . . 3
51, 3, 4mp2b 10 . 2
6 bren 7545 . . . 4
71, 6mpbi 208 . . 3
8 axcc2 8838 . . . . 5
9 f1of 5821 . . . . . . . . . . 11
10 fnfco 5755 . . . . . . . . . . 11
119, 10sylan2 474 . . . . . . . . . 10
1211adantlr 714 . . . . . . . . 9
13123adant1 1014 . . . . . . . 8
14 nfmpt1 4541 . . . . . . . . . . 11
1514nfeq2 2636 . . . . . . . . . 10
16 nfv 1707 . . . . . . . . . 10
17 nfv 1707 . . . . . . . . . 10
1815, 16, 17nf3an 1930 . . . . . . . . 9
199ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2120neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
22 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2322, 20eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2421, 23imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2524rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2619, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
27263ad2antl3 1160 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
29 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
31 fvco3 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3230, 31sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3319, 32syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
34333adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
35 f1ocnvfv1 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3635fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
37363adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
38 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
39 axcc3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
40 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4140fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4239, 41mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4338, 42sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
44433adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4534, 37, 443eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
46453expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47463adantl2 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4847neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4993ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50 fvco3 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5149, 50sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5251eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5347eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5452, 53bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5548, 54imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5627, 55sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
5857com23 78 . . . . . . . . . . . . 13
59583exp 1195 . . . . . . . . . . . 12
6059com34 83 . . . . . . . . . . 11
6160imp32 433 . . . . . . . . . 10
62613impia 1193 . . . . . . . . 9
6318, 62ralrimi 2857 . . . . . . . 8
64 vex 3112 . . . . . . . . . 10
65 vex 3112 . . . . . . . . . 10
6664, 65coex 6752 . . . . . . . . 9
67 fneq1 5674 . . . . . . . . . 10
68 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . . 13
6968eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
7069imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11
7170ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10
7267, 71anbi12d 710 . . . . . . . . 9
7366, 72spcev 3201 . . . . . . . 8
7413, 63, 73syl2anc 661 . . . . . . 7
75743exp 1195 . . . . . 6
7675exlimdv 1724 . . . . 5
778, 76mpi 17 . . . 4
7877exlimdv 1724 . . 3
797, 78mpi 17 . 2
805, 79vtocle 3183 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109   c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   com 6700   cen 7533
This theorem is referenced by:  axcc4  8840  domtriomlem  8843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cc 8836
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator