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Theorem axcclem 8858
Description: Lemma for axcc 8859. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcclem.1
axcclem.2
axcclem.3
Assertion
Ref Expression
axcclem
Distinct variable groups:   , , , ,   , , , ,   , ,   , ,   , , ,

Proof of Theorem axcclem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfinite2 7798 . . . . . . . 8
2 axcclem.1 . . . . . . . . . 10
32eleq1i 2534 . . . . . . . . 9
4 undif1 3903 . . . . . . . . . . 11
5 snfi 7616 . . . . . . . . . . . 12
6 unfi 7807 . . . . . . . . . . . 12
75, 6mpan2 671 . . . . . . . . . . 11
84, 7syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . 10
9 ssun1 3666 . . . . . . . . . 10
10 ssfi 7760 . . . . . . . . . 10
118, 9, 10sylancl 662 . . . . . . . . 9
123, 11sylbi 195 . . . . . . . 8
13 dcomex 8848 . . . . . . . . . 10
14 isfiniteg 7800 . . . . . . . . . 10
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9
16 sdomnen 7564 . . . . . . . . 9
1715, 16sylbi 195 . . . . . . . 8
181, 12, 173syl 20 . . . . . . 7
1918con2i 120 . . . . . 6
20 sdomentr 7671 . . . . . . 7
2120expcom 435 . . . . . 6
2219, 21mtod 177 . . . . 5
23 vex 3112 . . . . . 6
24 difss 3630 . . . . . . 7
252, 24eqsstri 3533 . . . . . 6
26 ssdomg 7581 . . . . . 6
2723, 25, 26mp2 9 . . . . 5
2822, 27jctil 537 . . . 4
29 bren2 7566 . . . 4
3028, 29sylibr 212 . . 3
31 entr 7587 . . 3
3230, 31mpancom 669 . 2
33 ensym 7584 . 2
34 bren 7545 . . 3
35 f1of 5821 . . . . . . . 8
36 peano1 6719 . . . . . . . 8
37 ffvelrn 6029 . . . . . . . 8
3835, 36, 37sylancl 662 . . . . . . 7
39 eldifn 3626 . . . . . . . . 9
4039, 2eleq2s 2565 . . . . . . . 8
41 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
4241elsnc 4053 . . . . . . . . . 10
4342notbii 296 . . . . . . . . 9
44 neq0 3795 . . . . . . . . 9
4543, 44bitr2i 250 . . . . . . . 8
4640, 45sylibr 212 . . . . . . 7
4738, 46syl 16 . . . . . 6
48 elunii 4254 . . . . . . . . . . 11
4938, 48sylan2 474 . . . . . . . . . 10
5035ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . . 14
51 difabs 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
522difeq1i 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5351, 52, 23eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 pwuni 4683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55 ssdif 3638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5753, 56eqsstr3i 3534 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5857sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958ralrimivw 2872 . . . . . . . . . . . . . 14
6050, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
6160ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12
62 axcclem.2 . . . . . . . . . . . . 13
6362fmpt2 6867 . . . . . . . . . . . 12
6461, 63sylib 196 . . . . . . . . . . 11
6564adantl 466 . . . . . . . . . 10
66 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . . 14
6723, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
682, 67eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . 12
6968uniex 6596 . . . . . . . . . . 11
7069axdc4 8857 . . . . . . . . . 10
7149, 65, 70syl2anc 661 . . . . . . . . 9
72 3simpb 994 . . . . . . . . . 10
7372eximi 1656 . . . . . . . . 9
7471, 73syl 16 . . . . . . . 8
7574ex 434 . . . . . . 7
7675exlimiv 1722 . . . . . 6
7747, 76mpcom 36 . . . . 5
78 elsn 4043 . . . . . . . . . . 11
7978necon3bbii 2718 . . . . . . . . . 10
802eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . 12
81 eldif 3485 . . . . . . . . . . . 12
8280, 81bitri 249 . . . . . . . . . . 11
8382biimpri 206 . . . . . . . . . 10
8479, 83sylan2br 476 . . . . . . . . 9
85 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
86 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . . . . 14
87 foelrn 6050 . . . . . . . . . . . . . 14
8886, 87sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
89 suceq 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9089fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
92 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9391, 92oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9490, 93eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9594rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
96953ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9796imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
98973adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
99 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
100 f1ocnvfv 6184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
10199, 100syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1021013adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
103102imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
104103eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1051043adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
106 suceq 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
108107fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
109 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
110 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
111 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
112 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
113 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
114111, 112, 62, 113ovmpt2 6438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
115109, 110, 114syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1161153adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1171163ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11898, 108, 1173eltr3d 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11935ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1201193adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1211203ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
122 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1231223ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
124121, 123mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
125 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
126 suceq 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
127125, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
128127fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
129 axcclem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
130 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131128, 129, 130fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132124, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134118, 132, 1333eltr4d 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1351343exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136135com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1371363expd 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15
138137com4r 86 . . . . . . . . . . . . . 14
139138rexlimiv 2943 . . . . . . . . . . . . 13
14088, 139syl 16 . . . . . . . . . . . 12
14185, 140mpid 41 . . . . . . . . . . 11
142141impd 431 . . . . . . . . . 10
143142impancom 440 . . . . . . . . 9
14484, 143syl5 32 . . . . . . . 8
145144expd 436 . . . . . . 7
146145ralrimiv 2869 . . . . . 6
147 fvrn0 5893 . . . . . . . . . . 11
148147rgenw 2818 . . . . . . . . . 10
149 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
150149fmpt 6052 . . . . . . . . . 10
151148, 150mpbi 208 . . . . . . . . 9
152 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
153152rnex 6734 . . . . . . . . . 10
154 p0ex 4639 . . . . . . . . . 10
155153, 154unex 6598 . . . . . . . . 9
156 fex2 6755 . . . . . . . . 9
157151, 68, 155, 156mp3an 1324 . . . . . . . 8
158129, 157eqeltri 2541 . . . . . . 7
159 fveq1 5870 . . . . . . . . . 10
160159eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
161160imbi2d 316 . . . . . . . 8
162161ralbidv 2896 . . . . . . 7
163158, 162spcev 3201 . . . . . 6
164146, 163syl 16 . . . . 5
16577, 164exlimddv 1726 . . . 4
166165exlimiv 1722 . . 3
16734, 166sylbi 195 . 2
16832, 33, 1673syl 20 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  succsuc 4885  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  rancrn 5005  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536
This theorem is referenced by:  axcc  8859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-dc 8847
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
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