Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnre Unicode version

Theorem axcnre 9562
 Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom 17 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 9586. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem axcnre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-c 9519 . 2
2 eqeq1 2461 . . 3
322rexbidv 2975 . 2
4 opelreal 9528 . . . . . 6
5 opelreal 9528 . . . . . 6
64, 5anbi12i 697 . . . . 5
76biimpri 206 . . . 4
8 df-i 9522 . . . . . . . . 9
98oveq1i 6306 . . . . . . . 8
10 0r 9478 . . . . . . . . . 10
11 1sr 9479 . . . . . . . . . . 11
12 mulcnsr 9534 . . . . . . . . . . 11
1310, 11, 12mpanl12 682 . . . . . . . . . 10
1410, 13mpan2 671 . . . . . . . . 9
15 mulcomsr 9487 . . . . . . . . . . . . 13
16 00sr 9497 . . . . . . . . . . . . 13
1715, 16syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . 12
1817oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
19 00sr 9497 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2011, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . 14
22 m1r 9480 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 00sr 9497 . . . . . . . . . . . . . . 15
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
2521, 24eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . 13
2625oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12
27 0idsr 9495 . . . . . . . . . . . . 13
2810, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
2926, 28eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11
3018, 29syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
31 mulcomsr 9487 . . . . . . . . . . . . 13
32 1idsr 9496 . . . . . . . . . . . . 13
3331, 32syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . 12
3433oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
35 00sr 9497 . . . . . . . . . . . . . 14
3610, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
3736oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12
38 0idsr 9495 . . . . . . . . . . . 12
3937, 38syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11
4034, 39eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
4130, 40opeq12d 4225 . . . . . . . . 9
4214, 41eqtrd 2498 . . . . . . . 8
439, 42syl5eq 2510 . . . . . . 7
4443oveq2d 6312 . . . . . 6
4544adantl 466 . . . . 5
46 addcnsr 9533 . . . . . . 7
4710, 46mpanl2 681 . . . . . 6
4810, 47mpanr1 683 . . . . 5
49 0idsr 9495 . . . . . 6
50 addcomsr 9485 . . . . . . 7
5150, 38syl5eq 2510 . . . . . 6
52 opeq12 4219 . . . . . 6
5349, 51, 52syl2an 477 . . . . 5
5445, 48, 533eqtrrd 2503 . . . 4
55 opex 4716 . . . . 5
56 opex 4716 . . . . 5
57 eleq1 2529 . . . . . . 7
58 eleq1 2529 . . . . . . 7
5957, 58bi2anan9 873 . . . . . 6
60 oveq1 6303 . . . . . . . 8
61 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
6261oveq2d 6312 . . . . . . . 8
6360, 62sylan9eq 2518 . . . . . . 7
6463eqeq2d 2471 . . . . . 6
6559, 64anbi12d 710 . . . . 5
6655, 56, 65spc2ev 3202 . . . 4
677, 54, 66syl2anc 661 . . 3
68 r2ex 2980 . . 3
6967, 68sylibr 212 . 2
701, 3, 69optocl 5081 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808  <.cop 4035  (class class class)co 6296   cnr 9264   c0r 9265   c1r 9266   cm1r 9267   cplr 9268   cmr 9269   cc 9511   cr 9512   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-1p 9381  df-plp 9382  df-mp 9383  df-ltp 9384  df-enr 9454  df-nr 9455  df-plr 9456  df-mr 9457  df-0r 9459  df-1r 9460  df-m1r 9461  df-c 9519  df-i 9522  df-r 9523  df-add 9524  df-mul 9525
 Copyright terms: Public domain W3C validator