Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc2lem Unicode version

Theorem axdc2lem 8849
 Description: Lemma for axdc2 8850. We construct a relation based on such that iff , and show that the "function" described by ax-dc 8847 can be restricted so that it is a real function (since the stated properties only show that it is the superset of a function). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc2lem.1
axdc2lem.2
axdc2lem.3
Assertion
Ref Expression
axdc2lem
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem axdc2lem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6029 . . . . . . . . 9
2 eldifsni 4156 . . . . . . . . . 10
3 n0 3794 . . . . . . . . . 10
42, 3sylib 196 . . . . . . . . 9
51, 4syl 16 . . . . . . . 8
65ralrimiva 2871 . . . . . . 7
7 rabid2 3035 . . . . . . 7
86, 7sylibr 212 . . . . . 6
9 axdc2lem.2 . . . . . . . 8
109dmeqi 5209 . . . . . . 7
11 19.42v 1775 . . . . . . . . 9
1211abbii 2591 . . . . . . . 8
13 dmopab 5218 . . . . . . . 8
14 df-rab 2816 . . . . . . . 8
1512, 13, 143eqtr4i 2496 . . . . . . 7
1610, 15eqtri 2486 . . . . . 6
178, 16syl6reqr 2517 . . . . 5
1817neeq1d 2734 . . . 4
1918biimparc 487 . . 3
20 eldifi 3625 . . . . . . . . . 10
21 elelpwi 4023 . . . . . . . . . . 11
2221expcom 435 . . . . . . . . . 10
231, 20, 223syl 20 . . . . . . . . 9
2423expimpd 603 . . . . . . . 8
2524exlimdv 1724 . . . . . . 7
2625alrimiv 1719 . . . . . 6
279rneqi 5234 . . . . . . . . 9
28 rnopab 5252 . . . . . . . . 9
2927, 28eqtri 2486 . . . . . . . 8
3029sseq1i 3527 . . . . . . 7
31 abss 3568 . . . . . . 7
3230, 31bitri 249 . . . . . 6
3326, 32sylibr 212 . . . . 5
3433, 17sseqtr4d 3540 . . . 4
36 fvrn0 5893 . . . . . . . . . 10
37 elssuni 4279 . . . . . . . . . 10
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9
3938sseli 3499 . . . . . . . 8
4039anim2i 569 . . . . . . 7
4140ssopab2i 4780 . . . . . 6
42 df-xp 5010 . . . . . 6
4341, 9, 423sstr4i 3542 . . . . 5
44 axdc2lem.1 . . . . . 6
45 frn 5742 . . . . . . . . . 10
4645adantl 466 . . . . . . . . 9
4744pwex 4635 . . . . . . . . . . 11
48 difexg 4600 . . . . . . . . . . 11
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
5049ssex 4596 . . . . . . . . 9
5146, 50syl 16 . . . . . . . 8
52 p0ex 4639 . . . . . . . 8
53 unexg 6601 . . . . . . . 8
5451, 52, 53sylancl 662 . . . . . . 7
55 uniexg 6597 . . . . . . 7
5654, 55syl 16 . . . . . 6
57 xpexg 6602 . . . . . 6
5844, 56, 57sylancr 663 . . . . 5
59 ssexg 4598 . . . . 5
6043, 58, 59sylancr 663 . . . 4
61 n0 3794 . . . . . . . . 9
62 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
6362eldm 5205 . . . . . . . . . 10
6463exbii 1667 . . . . . . . . 9
6561, 64bitr2i 250 . . . . . . . 8
66 dmeq 5208 . . . . . . . . 9
6766neeq1d 2734 . . . . . . . 8
6865, 67syl5bb 257 . . . . . . 7
69 rneq 5233 . . . . . . . 8
7069, 66sseq12d 3532 . . . . . . 7
7168, 70anbi12d 710 . . . . . 6
72 breq 4454 . . . . . . . 8
7372ralbidv 2896 . . . . . . 7
7473exbidv 1714 . . . . . 6
7571, 74imbi12d 320 . . . . 5
76 ax-dc 8847 . . . . 5
7775, 76vtoclg 3167 . . . 4
7860, 77syl 16 . . 3
7919, 35, 78mp2and 679 . 2
80 simpr 461 . 2
81 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 suceq 4948 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15
8481, 83breq12d 4465 . . . . . . . . . . . . . 14
8584rspccv 3207 . . . . . . . . . . . . 13
86 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
87 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
8886, 87breldm 5212 . . . . . . . . . . . . 13
8985, 88syl6 33 . . . . . . . . . . . 12
9089imp 429 . . . . . . . . . . 11
9190adantll 713 . . . . . . . . . 10
92 eleq2 2530 . . . . . . . . . . 11
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
9491, 93mpbid 210 . . . . . . . . 9
95 axdc2lem.3 . . . . . . . . 9
9694, 95fmptd 6055 . . . . . . . 8
9796ex 434 . . . . . . 7
9817, 97syl 16 . . . . . 6
9998impcom 430 . . . . 5
100 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
101 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
102100, 95, 101fvmpt 5956 . . . . . . . . 9
103 peano2 6720 . . . . . . . . . 10
104 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
105 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
106105, 95fvmptg 5954 . . . . . . . . . 10
107103, 104, 106sylancl 662 . . . . . . . . 9
108102, 107breq12d 4465 . . . . . . . 8
109 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
110 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
111 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
112 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
113112eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
114111, 113anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
115 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
116115anbi2d 703 . . . . . . . . . 10
117109, 110, 114, 116, 9brab 4775 . . . . . . . . 9
118117simprbi 464 . . . . . . . 8
119108, 118syl6bir 229 . . . . . . 7
120119ralimia 2848 . . . . . 6
121120adantr 465 . . . . 5
122 fvrn0 5893 . . . . . . . . . 10
123122rgenw 2818 . . . . . . . . 9
124 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
125124fmpt 6052 . . . . . . . . 9
126123, 125mpbi 208 . . . . . . . 8
127 dcomex 8848 . . . . . . . 8
128 vex 3112 . . . . . . . . . 10
129128rnex 6734 . . . . . . . . 9
130129, 52unex 6598 . . . . . . . 8
131 fex2 6755 . . . . . . . 8
132126, 127, 130, 131mp3an 1324 . . . . . . 7
13395, 132eqeltri 2541 . . . . . 6
134 feq1 5718 . . . . . . 7
135 fveq1 5870 . . . . . . . . 9
136 fveq1 5870 . . . . . . . . . 10
137136fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
138135, 137eleq12d 2539 . . . . . . . 8
139138ralbidv 2896 . . . . . . 7
140134, 139anbi12d 710 . . . . . 6
141133, 140spcev 3201 . . . . 5
14299, 121, 141syl2anc 661 . . . 4
143142ex 434 . . 3
144143exlimiv 1722 . 2
14579, 80, 144sylc 60 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510  succsuc 4885  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  -->wf 5589  `cfv 5593   com 6700 This theorem is referenced by:  axdc2  8850 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-dc 8847 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149
 Copyright terms: Public domain W3C validator