Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc3 Unicode version

Theorem axdc3 8855
 Description: Dependent Choice. Axiom DC1 of [Schechter] p. 149, with the addition of an initial value . This theorem is weaker than the Axiom of Choice but is stronger than Countable Choice. It shows the existence of a sequence whose values can only be shown to exist (but cannot be constructed explicitly) and also depend on earlier values in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdc3.1
Assertion
Ref Expression
axdc3
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem axdc3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axdc3.1 . 2
2 feq1 5718 . . . . 5
3 fveq1 5870 . . . . . 6
43eqeq1d 2459 . . . . 5
5 fveq1 5870 . . . . . . . 8
6 fveq1 5870 . . . . . . . . 9
76fveq2d 5875 . . . . . . . 8
85, 7eleq12d 2539 . . . . . . 7
98ralbidv 2896 . . . . . 6
10 suceq 4948 . . . . . . . . 9
1110fveq2d 5875 . . . . . . . 8
12 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
1312fveq2d 5875 . . . . . . . 8
1411, 13eleq12d 2539 . . . . . . 7
1514cbvralv 3084 . . . . . 6
169, 15syl6bb 261 . . . . 5
172, 4, 163anbi123d 1299 . . . 4
1817rexbidv 2968 . . 3
1918cbvabv 2600 . 2
20 eqid 2457 . 2
211, 19, 20axdc3lem4 8854 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  e.cmpt 4510  succsuc 4885  domcdm 5004  |cres 5006  -->wf 5589  cfv 5593   com 6700 This theorem is referenced by:  axdc4lem  8856 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-dc 8847 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149
 Copyright terms: Public domain W3C validator