MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc4uzlem Unicode version

Theorem axdc4uzlem 12092
Description: Lemma for axdc4uz 12093. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc4uz.1
axdc4uz.2
axdc4uz.3
axdc4uz.4
axdc4uz.5
Assertion
Ref Expression
axdc4uzlem
Distinct variable groups:   , , , ,   ,   , , , ,   , ,M, , ,   , , ,   , , , ,   ,

Proof of Theorem axdc4uzlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axdc4uz.1 . . . . . . . . . . 11
2 axdc4uz.4 . . . . . . . . . . 11
31, 2om2uzf1oi 12064 . . . . . . . . . 10
4 axdc4uz.2 . . . . . . . . . . 11
5 f1oeq3 5814 . . . . . . . . . . 11
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
73, 6mpbir 209 . . . . . . . . 9
8 f1of 5821 . . . . . . . . 9
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8
109ffvelrni 6030 . . . . . . 7
11 fovrn 6445 . . . . . . 7
1210, 11syl3an2 1262 . . . . . 6
13123expb 1197 . . . . 5
1413ralrimivva 2878 . . . 4
15 axdc4uz.5 . . . . 5
1615fmpt2 6867 . . . 4
1714, 16sylib 196 . . 3
18 axdc4uz.3 . . . 4
1918axdc4 8857 . . 3
2017, 19sylan2 474 . 2
21 f1ocnv 5833 . . . . . . 7
22 f1of 5821 . . . . . . 7
237, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6
24 fco 5746 . . . . . 6
2523, 24mpan2 671 . . . . 5
26253ad2ant1 1017 . . . 4
27 uzid 11124 . . . . . . . . 9
281, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8
2928, 4eleqtrri 2544 . . . . . . 7
30 fvco3 5950 . . . . . . 7
3123, 29, 30mp2an 672 . . . . . 6
321, 2om2uz0i 12058 . . . . . . . 8
33 peano1 6719 . . . . . . . . 9
34 f1ocnvfv 6184 . . . . . . . . 9
357, 33, 34mp2an 672 . . . . . . . 8
3632, 35ax-mp 5 . . . . . . 7
3736fveq2i 5874 . . . . . 6
3831, 37eqtri 2486 . . . . 5
39 simp2 997 . . . . 5
4038, 39syl5eq 2510 . . . 4
4123ffvelrni 6030 . . . . . . . . . 10
4241adantl 466 . . . . . . . . 9
43 suceq 4948 . . . . . . . . . . . 12
4443fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
45 id 22 . . . . . . . . . . . 12
46 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
4844, 47eleq12d 2539 . . . . . . . . . 10
4948rspcv 3206 . . . . . . . . 9
5042, 49syl 16 . . . . . . . 8
514peano2uzs 11164 . . . . . . . . . . . 12
52 fvco3 5950 . . . . . . . . . . . 12
5323, 51, 52sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
541, 2om2uzsuci 12059 . . . . . . . . . . . . . . 15
5541, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
56 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
577, 56mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14
5955, 58eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13
60 peano2 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15
6141, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
62 f1ocnvfv 6184 . . . . . . . . . . . . . 14
637, 61, 62sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
6459, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
6564fveq2d 5875 . . . . . . . . . . 11
6653, 65eqtr2d 2499 . . . . . . . . . 10
6766adantl 466 . . . . . . . . 9
68 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . 12
6941, 68sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
70 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
7170oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
72 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
73 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12
7471, 72, 15, 73ovmpt2 6438 . . . . . . . . . . 11
7542, 69, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
76 fvco3 5950 . . . . . . . . . . . . . 14
7723, 76mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13
7877eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . 12
7957, 78oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
8079adantl 466 . . . . . . . . . 10
8175, 80eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
8267, 81eleq12d 2539 . . . . . . . 8
8350, 82sylibd 214 . . . . . . 7
8483impancom 440 . . . . . 6
8584ralrimiv 2869 . . . . 5
86853adant2 1015 . . . 4
87 vex 3112 . . . . . 6
88 rdgfun 7101 . . . . . . . . 9
89 omex 8081 . . . . . . . . 9
90 resfunexg 6137 . . . . . . . . 9
9188, 89, 90mp2an 672 . . . . . . . 8
922, 91eqeltri 2541 . . . . . . 7
9392cnvex 6747 . . . . . 6
9487, 93coex 6752 . . . . 5
95 feq1 5718 . . . . . 6
96 fveq1 5870 . . . . . . 7
9796eqeq1d 2459 . . . . . 6
98 fveq1 5870 . . . . . . . 8
99 fveq1 5870 . . . . . . . . 9
10099oveq2d 6312 . . . . . . . 8
10198, 100eleq12d 2539 . . . . . . 7
102101ralbidv 2896 . . . . . 6
10395, 97, 1023anbi123d 1299 . . . . 5
10494, 103spcev 3201 . . . 4
10526, 40, 86, 104syl3anc 1228 . . 3
106105exlimiv 1722 . 2
10720, 106syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  e.cmpt 4510  succsuc 4885  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  |`cres 5006  o.ccom 5008  Funwfun 5587  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700  reccrdg 7094  1c1 9514   caddc 9516   cz 10889   cuz 11110
This theorem is referenced by:  axdc4uz  12093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-dc 8847  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111
  Copyright terms: Public domain W3C validator