MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdclem2 Unicode version

Theorem axdclem2 8921
Description: Lemma for axdc 8922. Using the full Axiom of Choice, we can construct a choice function on . From this, we can build a sequence starting at any value by repeatedly applying to the set (where is the value from the previous iteration). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdclem2.1
Assertion
Ref Expression
axdclem2
Distinct variable groups:   , ,   , , ,   , , ,   , , ,   ,   , ,

Proof of Theorem axdclem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . . 5
21dmex 6733 . . . 4
32pwex 4635 . . 3
43ac4c 8877 . 2
5 frfnom 7119 . . . . . . . . 9
6 axdclem2.1 . . . . . . . . . 10
76fneq1i 5680 . . . . . . . . 9
85, 7mpbir 209 . . . . . . . 8
98a1i 11 . . . . . . 7
10 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
11 suceq 4948 . . . . . . . . . . . . 13
1211fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
1310, 12breq12d 4465 . . . . . . . . . . 11
14 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
15 suceq 4948 . . . . . . . . . . . . 13
1615fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
1714, 16breq12d 4465 . . . . . . . . . . 11
18 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
19 suceq 4948 . . . . . . . . . . . . 13
2019fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20breq12d 4465 . . . . . . . . . . 11
226fveq1i 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24 fr0g 7120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2622, 25eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726breq1i 4459 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . 14
2928eximi 1656 . . . . . . . . . . . . 13
30 peano1 6719 . . . . . . . . . . . . . 14
316axdclem 8920 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31mpi 17 . . . . . . . . . . . . 13
3329, 32syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . 12
34333com23 1202 . . . . . . . . . . 11
35 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3735, 36brelrn 5238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
38 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3937, 38syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4036eldm 5205 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4139, 40syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14
43 peano2 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
446axdclem 8920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4543, 44syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46453expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
4942, 48syld 44 . . . . . . . . . . . . 13
50493adantr2 1156 . . . . . . . . . . . 12
5150ex 434 . . . . . . . . . . 11
5213, 17, 21, 34, 51finds2 6728 . . . . . . . . . 10
5352com12 31 . . . . . . . . 9
54 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
55 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
5654, 55breldm 5212 . . . . . . . . 9
5753, 56syl6 33 . . . . . . . 8
5857ralrimiv 2869 . . . . . . 7
59 ffnfv 6057 . . . . . . 7
609, 58, 59sylanbrc 664 . . . . . 6
61 omex 8081 . . . . . . 7
6261a1i 11 . . . . . 6
632a1i 11 . . . . . 6
64 fex2 6755 . . . . . 6
6560, 62, 63, 64syl3anc 1228 . . . . 5
6653ralrimiv 2869 . . . . 5
67 fveq1 5870 . . . . . . . 8
68 fveq1 5870 . . . . . . . 8
6967, 68breq12d 4465 . . . . . . 7
7069ralbidv 2896 . . . . . 6
7170spcegv 3195 . . . . 5
7265, 66, 71sylc 60 . . . 4
73723exp 1195 . . 3
7473exlimiv 1722 . 2
754, 74ax-mp 5 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094
This theorem is referenced by:  axdc  8922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-ac 8518
  Copyright terms: Public domain W3C validator