Theorem axdistr 9556

Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom 11 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 9580 be used later. Instead, use adddi 9602. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axdistr

Proof of Theorem axdistr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 9540	. 2
2		addcnsrec 9541	. 2
3		mulcnsrec 9542	. 2
4		mulcnsrec 9542	. 2
5		mulcnsrec 9542	. 2
6		addcnsrec 9541	. 2
7		addclsr 9481	. . . 4
8		addclsr 9481	. . . 4
9	7, 8	anim12i 566	. . 3
10	9	an4s 826	. 2
11		mulclsr 9482	. . . . 5
12		m1r 9480	. . . . . 6
13		mulclsr 9482	. . . . . 6
14		mulclsr 9482	. . . . . 6
15	12, 13, 14	sylancr 663	. . . . 5
16		addclsr 9481	. . . . 5
17	11, 15, 16	syl2an 477	. . . 4
18	17	an4s 826	. . 3
19		mulclsr 9482	. . . . 5
20		mulclsr 9482	. . . . 5
21		addclsr 9481	. . . . 5
22	19, 20, 21	syl2anr 478	. . . 4
23	22	an42s 827	. . 3
24	18, 23	jca 532	. 2
25		mulclsr 9482	. . . . 5
26		mulclsr 9482	. . . . . 6
27		mulclsr 9482	. . . . . 6
28	12, 26, 27	sylancr 663	. . . . 5
29		addclsr 9481	. . . . 5
30	25, 28, 29	syl2an 477	. . . 4
31	30	an4s 826	. . 3
32		mulclsr 9482	. . . . 5
33		mulclsr 9482	. . . . 5
34		addclsr 9481	. . . . 5
35	32, 33, 34	syl2anr 478	. . . 4
36	35	an42s 827	. . 3
37	31, 36	jca 532	. 2
38		distrsr 9489	. . . 4
39		distrsr 9489	. . . . . 6
40	39	oveq2i 6307	. . . . 5
41		distrsr 9489	. . . . 5
42	40, 41	eqtri 2486	. . . 4
43	38, 42	oveq12i 6308	. . 3
44		ovex 6324	. . . 4
45		ovex 6324	. . . 4
46		ovex 6324	. . . 4
47		addcomsr 9485	. . . 4
48		addasssr 9486	. . . 4
49		ovex 6324	. . . 4
50	44, 45, 46, 47, 48, 49	caov4 6506	. . 3
51	43, 50	eqtri 2486	. 2
52		distrsr 9489	. . . 4
53		distrsr 9489	. . . 4
54	52, 53	oveq12i 6308	. . 3
55		ovex 6324	. . . 4
56		ovex 6324	. . . 4
57		ovex 6324	. . . 4
58		ovex 6324	. . . 4
59	55, 56, 57, 47, 48, 58	caov4 6506	. . 3
60	54, 59	eqtri 2486	. 2
61	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 51, 60	ecovdi 7438	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  cep 4794  `'ccnv 5003  (class class class)co 6296  cnr 9264  cm1r 9267  cplr 9268  cmr 9269  cc 9511  caddc 9516  cmul 9518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-1p 9381  df-plp 9382  df-mp 9383  df-ltp 9384  df-enr 9454  df-nr 9455  df-plr 9456  df-mr 9457  df-m1r 9461  df-c 9519  df-add 9524  df-mul 9525